Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80059 / 83689
↖ ↑ ↗
← S 44.545463°
E 39.888611°		 ← 217.68 m → S 44.545463°
E 39.891357°		 →
↑
217.63 m
↓
↑
217.63 m
↓
S 44.547420°
E 39.888611°		 ← 217.67 m →
47 373 m²		 S 44.547420°
E 39.891357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610805511474609 y=0.638500213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610805511474609 × 217)
    floor (0.610805511474609 × 131072)
    floor (80059.5)     		tx = 80059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638500213623047 × 217)
    floor (0.638500213623047 × 131072)
    floor (83689.5)     		ty = 83689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80059 / 83689 ti = "17/80059/83689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80059/83689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80059 ÷ 217
    80059 ÷ 131072     		x = 0.610801696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83689 ÷ 217
    83689 ÷ 131072     		y = 0.638496398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610801696777344 × 2 - 1) × π
    0.221603393554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.69618759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638496398925781 × 2 - 1) × π
    -0.276992797851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.870198538802879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69618759} λ = 0.69618759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870198538802879))-π/2
    2×atan(0.418868379365085)-π/2
    2×0.396665667772155-π/2
    0.79333133554431-1.57079632675     		φ = -0.77746499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69618759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.888611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77746499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.545463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80059 KachelY 83689 0.69618759 -0.77746499 39.888611 -44.545463
    Oben rechts KachelX + 1 80060 KachelY 83689 0.69623553 -0.77746499 39.891357 -44.545463
    Unten links KachelX 80059 KachelY + 1 83690 0.69618759 -0.77749915 39.888611 -44.547420
    Unten rechts KachelX + 1 80060 KachelY + 1 83690 0.69623553 -0.77749915 39.891357 -44.547420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77746499--0.77749915) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dl = 217.633360000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77746499--0.77749915) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dr = 217.633360000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69618759-0.69623553) × cos(-0.77746499) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712694072201289 × 6371000     		do = 217.675114396053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69618759-0.69623553) × cos(-0.77749915) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712670109399864 × 6371000     		du = 217.667795539696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77746499)-sin(-0.77749915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712694072201289-0.712670109399864)×R²
    abs(0.69623553-0.69618759)×2.39628014249149e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39628014249149e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39628014249149e-05×40589641000000     		ar = 47372.5701253205m²