Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80058 / 83686
↖ ↑ ↗
← S 44.539590°
E 39.885864°		 ← 217.65 m → S 44.539590°
E 39.888611°		 →
↑
217.70 m
↓
↑
217.70 m
↓
S 44.541548°
E 39.885864°		 ← 217.64 m →
47 381 m²		 S 44.541548°
E 39.888611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610797882080078 y=0.638477325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610797882080078 × 217)
    floor (0.610797882080078 × 131072)
    floor (80058.5)     		tx = 80058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638477325439453 × 217)
    floor (0.638477325439453 × 131072)
    floor (83686.5)     		ty = 83686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80058 / 83686 ti = "17/80058/83686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80058/83686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80058 ÷ 217
    80058 ÷ 131072     		x = 0.610794067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83686 ÷ 217
    83686 ÷ 131072     		y = 0.638473510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610794067382812 × 2 - 1) × π
    0.221588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69613966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638473510742188 × 2 - 1) × π
    -0.276947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.870054728104019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69613966} λ = 0.69613966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870054728104019))-π/2
    2×atan(0.418928621451076)-π/2
    2×0.396716916873252-π/2
    0.793433833746503-1.57079632675     		φ = -0.77736249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69613966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.885864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77736249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.539590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80058 KachelY 83686 0.69613966 -0.77736249 39.885864 -44.539590
    Oben rechts KachelX + 1 80059 KachelY 83686 0.69618759 -0.77736249 39.888611 -44.539590
    Unten links KachelX 80058 KachelY + 1 83687 0.69613966 -0.77739666 39.885864 -44.541548
    Unten rechts KachelX + 1 80059 KachelY + 1 83687 0.69618759 -0.77739666 39.888611 -44.541548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77736249--0.77739666) × R
    3.41699999999445e-05 × 6371000     		dl = 217.697069999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77736249--0.77739666) × R
    3.41699999999445e-05 × 6371000     		dr = 217.697069999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69613966-0.69618759) × cos(-0.77736249) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.71276596964361 × 6371000     		do = 217.65166340492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69613966-0.69618759) × cos(-0.77739666) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.712742002323433 × 6371000     		du = 217.644344695377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77736249)-sin(-0.77739666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71276596964361-0.712742002323433)×R²
    abs(0.69618759-0.69613966)×2.39673201766211e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39673201766211e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39673201766211e-05×40589641000000     		ar = 47381.3327777043m²