Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80057 / 83687
↖ ↑ ↗
← S 44.541548°
E 39.883118°		 ← 217.69 m → S 44.541548°
E 39.885864°		 →
↑
217.70 m
↓
↑
217.70 m
↓
S 44.543505°
E 39.883118°		 ← 217.68 m →
47 390 m²		 S 44.543505°
E 39.885864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610790252685547 y=0.638484954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610790252685547 × 217)
    floor (0.610790252685547 × 131072)
    floor (80057.5)     		tx = 80057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638484954833984 × 217)
    floor (0.638484954833984 × 131072)
    floor (83687.5)     		ty = 83687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80057 / 83687 ti = "17/80057/83687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80057/83687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80057 ÷ 217
    80057 ÷ 131072     		x = 0.610786437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83687 ÷ 217
    83687 ÷ 131072     		y = 0.638481140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610786437988281 × 2 - 1) × π
    0.221572875976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.69609172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638481140136719 × 2 - 1) × π
    -0.276962280273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.870102665003639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69609172} λ = 0.69609172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870102665003639))-π/2
    2×atan(0.418908539793132)-π/2
    2×0.396699833265139-π/2
    0.793399666530279-1.57079632675     		φ = -0.77739666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69609172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.883118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77739666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.541548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80057 KachelY 83687 0.69609172 -0.77739666 39.883118 -44.541548
    Oben rechts KachelX + 1 80058 KachelY 83687 0.69613966 -0.77739666 39.885864 -44.541548
    Unten links KachelX 80057 KachelY + 1 83688 0.69609172 -0.77743083 39.883118 -44.543505
    Unten rechts KachelX + 1 80058 KachelY + 1 83688 0.69613966 -0.77743083 39.885864 -44.543505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77739666--0.77743083) × R
    3.41700000000555e-05 × 6371000     		dl = 217.697070000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77739666--0.77743083) × R
    3.41700000000555e-05 × 6371000     		dr = 217.697070000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69609172-0.69613966) × cos(-0.77739666) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712742002323433 × 6371000     		do = 217.689753489078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69609172-0.69613966) × cos(-0.77743083) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712718034171067 × 6371000     		du = 217.682432998405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77739666)-sin(-0.77743083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712742002323433-0.712718034171067)×R²
    abs(0.69613966-0.69609172)×2.39681523664936e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39681523664936e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39681523664936e-05×40589641000000     		ar = 47389.6246835411m²