Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80047 / 82551
↖ ↑ ↗
← S 42.275277°
E 39.855652°		 ← 225.99 m → S 42.275277°
E 39.858399°		 →
↑
225.98 m
↓
↑
225.98 m
↓
S 42.277309°
E 39.855652°		 ← 225.98 m →
51 068 m²		 S 42.277309°
E 39.858399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610713958740234 y=0.629817962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610713958740234 × 217)
    floor (0.610713958740234 × 131072)
    floor (80047.5)     		tx = 80047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629817962646484 × 217)
    floor (0.629817962646484 × 131072)
    floor (82551.5)     		ty = 82551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80047 / 82551 ti = "17/80047/82551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80047/82551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80047 ÷ 217
    80047 ÷ 131072     		x = 0.610710144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82551 ÷ 217
    82551 ÷ 131072     		y = 0.629814147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610710144042969 × 2 - 1) × π
    0.221420288085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.69561235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629814147949219 × 2 - 1) × π
    -0.259628295898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.815646347035255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69561235} λ = 0.69561235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815646347035255))-π/2
    2×atan(0.442353321184003)-π/2
    2×0.416476779393538-π/2
    0.832953558787076-1.57079632675     		φ = -0.73784277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69561235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.855652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73784277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.275277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80047 KachelY 82551 0.69561235 -0.73784277 39.855652 -42.275277
    Oben rechts KachelX + 1 80048 KachelY 82551 0.69566029 -0.73784277 39.858399 -42.275277
    Unten links KachelX 80047 KachelY + 1 82552 0.69561235 -0.73787824 39.855652 -42.277309
    Unten rechts KachelX + 1 80048 KachelY + 1 82552 0.69566029 -0.73787824 39.858399 -42.277309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73784277--0.73787824) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dl = 225.979370000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73784277--0.73787824) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dr = 225.979370000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69561235-0.69566029) × cos(-0.73784277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.739921433429781 × 6371000     		do = 225.991051347003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69561235-0.69566029) × cos(-0.73787824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.739897572533072 × 6371000     		du = 225.983763614969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73784277)-sin(-0.73787824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739921433429781-0.739897572533072)×R²
    abs(0.69566029-0.69561235)×2.3860896708694e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3860896708694e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3860896708694e-05×40589641000000     		ar = 51068.4919758328m²