Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80043 / 83839
↖ ↑ ↗
← S 44.838343°
E 39.844665°		 ← 216.58 m → S 44.838343°
E 39.847412°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
S 44.840291°
E 39.844665°		 ← 216.57 m →
46 899 m²		 S 44.840291°
E 39.847412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610683441162109 y=0.639644622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610683441162109 × 217)
    floor (0.610683441162109 × 131072)
    floor (80043.5)     		tx = 80043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639644622802734 × 217)
    floor (0.639644622802734 × 131072)
    floor (83839.5)     		ty = 83839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80043 / 83839 ti = "17/80043/83839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80043/83839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80043 ÷ 217
    80043 ÷ 131072     		x = 0.610679626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83839 ÷ 217
    83839 ÷ 131072     		y = 0.639640808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610679626464844 × 2 - 1) × π
    0.221359252929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.69542060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639640808105469 × 2 - 1) × π
    -0.279281616210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.877389073745888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69542060} λ = 0.69542060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877389073745888))-π/2
    2×atan(0.415867294280933)-π/2
    2×0.394109804414482-π/2
    0.788219608828965-1.57079632675     		φ = -0.78257672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69542060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.844665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78257672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.838343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80043 KachelY 83839 0.69542060 -0.78257672 39.844665 -44.838343
    Oben rechts KachelX + 1 80044 KachelY 83839 0.69546854 -0.78257672 39.847412 -44.838343
    Unten links KachelX 80043 KachelY + 1 83840 0.69542060 -0.78261071 39.844665 -44.840291
    Unten rechts KachelX + 1 80044 KachelY + 1 83840 0.69546854 -0.78261071 39.847412 -44.840291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78257672--0.78261071) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dl = 216.55029000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78257672--0.78261071) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dr = 216.55029000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69542060-0.69546854) × cos(-0.78257672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709099025823609 × 6371000     		do = 216.577094695313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69542060-0.69546854) × cos(-0.78261071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709075058762226 × 6371000     		du = 216.569774537854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78257672)-sin(-0.78261071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709099025823609-0.709075058762226)×R²
    abs(0.69546854-0.69542060)×2.39670613828569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39670613828569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39670613828569e-05×40589641000000     		ar = 46899.0400769723m²