Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80039 / 18843
↖ ↑ ↗
← N 77.826219°
E 39.833679°		 ← 64.39 m → N 77.826219°
E 39.836426°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.825640°
E 39.833679°		 ← 64.40 m →
4 148 m²		 N 77.825640°
E 39.836426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610652923583984 y=0.143764495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610652923583984 × 217)
    floor (0.610652923583984 × 131072)
    floor (80039.5)     		tx = 80039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143764495849609 × 217)
    floor (0.143764495849609 × 131072)
    floor (18843.5)     		ty = 18843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80039 / 18843 ti = "17/80039/18843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80039/18843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80039 ÷ 217
    80039 ÷ 131072     		x = 0.610649108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18843 ÷ 217
    18843 ÷ 131072     		y = 0.143760681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610649108886719 × 2 - 1) × π
    0.221298217773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69522886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143760681152344 × 2 - 1) × π
    0.712478637695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.23831765395928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69522886} λ = 0.69522886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23831765395928))-π/2
    2×atan(9.37754173920826)-π/2
    2×1.46456005024832-π/2
    2.92912010049664-1.57079632675     		φ = 1.35832377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69522886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.833679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35832377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.826219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80039 KachelY 18843 0.69522886 1.35832377 39.833679 77.826219
    Oben rechts KachelX + 1 80040 KachelY 18843 0.69527679 1.35832377 39.836426 77.826219
    Unten links KachelX 80039 KachelY + 1 18844 0.69522886 1.35831366 39.833679 77.825640
    Unten rechts KachelX + 1 80040 KachelY + 1 18844 0.69527679 1.35831366 39.836426 77.825640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35832377-1.35831366) × R
    1.01099999998411e-05 × 6371000     		dl = 64.4108099989875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35832377-1.35831366) × R
    1.01099999998411e-05 × 6371000     		dr = 64.4108099989875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69522886-0.69527679) × cos(1.35832377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210877497152582 × 6371000     		do = 64.3939806118711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69522886-0.69527679) × cos(1.35831366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210887379793146 × 6371000     		du = 64.3969983950555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35832377)-sin(1.35831366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210877497152582-0.210887379793146)×R²
    abs(0.69527679-0.69522886)×9.88264056414612e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.88264056414612e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.88264056414612e-06×40589641000000     		ar = 4147.76563922158m²