Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80034 / 18778
↖ ↑ ↗
← N 77.863810°
E 39.819946°		 ← 64.21 m → N 77.863810°
E 39.822693°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.863232°
E 39.819946°		 ← 64.21 m →
4 124 m²		 N 77.863232°
E 39.822693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610614776611328 y=0.143268585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610614776611328 × 217)
    floor (0.610614776611328 × 131072)
    floor (80034.5)     		tx = 80034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143268585205078 × 217)
    floor (0.143268585205078 × 131072)
    floor (18778.5)     		ty = 18778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80034 / 18778 ti = "17/80034/18778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80034/18778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80034 ÷ 217
    80034 ÷ 131072     		x = 0.610610961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18778 ÷ 217
    18778 ÷ 131072     		y = 0.143264770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610610961914062 × 2 - 1) × π
    0.221221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69498917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143264770507812 × 2 - 1) × π
    0.713470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24143355243459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69498917} λ = 0.69498917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24143355243459))-π/2
    2×atan(9.40680677698142)-π/2
    2×1.46488808682964-π/2
    2.92977617365928-1.57079632675     		φ = 1.35897985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69498917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.819946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35897985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.863810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80034 KachelY 18778 0.69498917 1.35897985 39.819946 77.863810
    Oben rechts KachelX + 1 80035 KachelY 18778 0.69503711 1.35897985 39.822693 77.863810
    Unten links KachelX 80034 KachelY + 1 18779 0.69498917 1.35896977 39.819946 77.863232
    Unten rechts KachelX + 1 80035 KachelY + 1 18779 0.69503711 1.35896977 39.822693 77.863232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35897985-1.35896977) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35897985-1.35896977) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69498917-0.69503711) × cos(1.35897985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210236125414604 × 6371000     		do = 64.2115241794461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69498917-0.69503711) × cos(1.35896977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210245980122362 × 6371000     		du = 64.2145340608557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35897985)-sin(1.35896977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210236125414604-0.210245980122362)×R²
    abs(0.69503711-0.69498917)×9.85470775841102e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.85470775841102e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.85470775841102e-06×40589641000000     		ar = 4123.74018205047m²