Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80033 / 18909
↖ ↑ ↗
← N 77.787934°
E 39.817199°		 ← 64.61 m → N 77.787934°
E 39.819946°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.787353°
E 39.817199°		 ← 64.61 m →
4 174 m²		 N 77.787353°
E 39.819946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610607147216797 y=0.144268035888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610607147216797 × 217)
    floor (0.610607147216797 × 131072)
    floor (80033.5)     		tx = 80033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144268035888672 × 217)
    floor (0.144268035888672 × 131072)
    floor (18909.5)     		ty = 18909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80033 / 18909 ti = "17/80033/18909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80033/18909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80033 ÷ 217
    80033 ÷ 131072     		x = 0.610603332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18909 ÷ 217
    18909 ÷ 131072     		y = 0.144264221191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610603332519531 × 2 - 1) × π
    0.221206665039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.69494123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144264221191406 × 2 - 1) × π
    0.711471557617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.23515381858436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69494123} λ = 0.69494123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23515381858436))-π/2
    2×atan(9.34791962537915)-π/2
    2×1.46422594305777-π/2
    2.92845188611553-1.57079632675     		φ = 1.35765556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69494123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.817199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35765556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.787934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80033 KachelY 18909 0.69494123 1.35765556 39.817199 77.787934
    Oben rechts KachelX + 1 80034 KachelY 18909 0.69498917 1.35765556 39.819946 77.787934
    Unten links KachelX 80033 KachelY + 1 18910 0.69494123 1.35764542 39.817199 77.787353
    Unten rechts KachelX + 1 80034 KachelY + 1 18910 0.69498917 1.35764542 39.819946 77.787353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35765556-1.35764542) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dl = 64.6019399992406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35765556-1.35764542) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dr = 64.6019399992406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69494123-0.69498917) × cos(1.35765556) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211530633650505 × 6371000     		do = 64.6069003154817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69494123-0.69498917) × cos(1.35764542) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211540544185302 × 6371000     		du = 64.6099272479058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35765556)-sin(1.35764542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211530633650505-0.211540544185302)×R²
    abs(0.69498917-0.69494123)×9.91053479668103e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.91053479668103e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.91053479668103e-06×40589641000000     		ar = 4173.82887054136m²