Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80031 / 18910
↖ ↑ ↗
← N 77.787353°
E 39.811707°		 ← 64.61 m → N 77.787353°
E 39.814453°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.786772°
E 39.811707°		 ← 64.61 m →
4 174 m²		 N 77.786772°
E 39.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610591888427734 y=0.144275665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610591888427734 × 217)
    floor (0.610591888427734 × 131072)
    floor (80031.5)     		tx = 80031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144275665283203 × 217)
    floor (0.144275665283203 × 131072)
    floor (18910.5)     		ty = 18910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80031 / 18910 ti = "17/80031/18910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80031/18910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80031 ÷ 217
    80031 ÷ 131072     		x = 0.610588073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18910 ÷ 217
    18910 ÷ 131072     		y = 0.144271850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610588073730469 × 2 - 1) × π
    0.221176147460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.69484536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144271850585938 × 2 - 1) × π
    0.711456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23510588168474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69484536} λ = 0.69484536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23510588168474))-π/2
    2×atan(9.34747152583475)-π/2
    2×1.4642208728776-π/2
    2.9284417457552-1.57079632675     		φ = 1.35764542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69484536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.811707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35764542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.787353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80031 KachelY 18910 0.69484536 1.35764542 39.811707 77.787353
    Oben rechts KachelX + 1 80032 KachelY 18910 0.69489330 1.35764542 39.814453 77.787353
    Unten links KachelX 80031 KachelY + 1 18911 0.69484536 1.35763528 39.811707 77.786772
    Unten rechts KachelX + 1 80032 KachelY + 1 18911 0.69489330 1.35763528 39.814453 77.786772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35764542-1.35763528) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35764542-1.35763528) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69484536-0.69489330) × cos(1.35764542) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211540544185302 × 6371000     		do = 64.6099272479058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69484536-0.69489330) × cos(1.35763528) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211550454698348 × 6371000     		du = 64.6129541736868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35764542)-sin(1.35763528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211540544185302-0.211550454698348)×R²
    abs(0.69489330-0.69484536)×9.91051304641277e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.91051304641277e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.91051304641277e-06×40589641000000     		ar = 4174.02441627435m²