Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80030 / 18887
↖ ↑ ↗
← N 77.800709°
E 39.808960°		 ← 64.54 m → N 77.800709°
E 39.811707°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.800128°
E 39.808960°		 ← 64.54 m →
4 165 m²		 N 77.800128°
E 39.811707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610584259033203 y=0.144100189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610584259033203 × 217)
    floor (0.610584259033203 × 131072)
    floor (80030.5)     		tx = 80030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144100189208984 × 217)
    floor (0.144100189208984 × 131072)
    floor (18887.5)     		ty = 18887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80030 / 18887 ti = "17/80030/18887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80030/18887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80030 ÷ 217
    80030 ÷ 131072     		x = 0.610580444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18887 ÷ 217
    18887 ÷ 131072     		y = 0.144096374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610580444335938 × 2 - 1) × π
    0.221160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69479742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144096374511719 × 2 - 1) × π
    0.711807250976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.236208430376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69479742} λ = 0.69479742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.236208430376))-π/2
    2×atan(9.3577832518776)-π/2
    2×1.46433742694173-π/2
    2.92867485388346-1.57079632675     		φ = 1.35787853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69479742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.808960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35787853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.800709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80030 KachelY 18887 0.69479742 1.35787853 39.808960 77.800709
    Oben rechts KachelX + 1 80031 KachelY 18887 0.69484536 1.35787853 39.811707 77.800709
    Unten links KachelX 80030 KachelY + 1 18888 0.69479742 1.35786840 39.808960 77.800128
    Unten rechts KachelX + 1 80031 KachelY + 1 18888 0.69484536 1.35786840 39.811707 77.800128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35787853-1.35786840) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dl = 64.5382299996278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35787853-1.35786840) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dr = 64.5382299996278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69479742-0.69484536) × cos(1.35787853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211312703900195 × 6371000     		do = 64.5403389600756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69479742-0.69484536) × cos(1.35786840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211322605138846 × 6371000     		du = 64.5433630532175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35787853)-sin(1.35786840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211312703900195-0.211322605138846)×R²
    abs(0.69484536-0.69479742)×9.90123865088344e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.90123865088344e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.90123865088344e-06×40589641000000     		ar = 4165.41682496665m²