Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80029 / 83795
↖ ↑ ↗
← S 44.752585°
E 39.806214°		 ← 216.85 m → S 44.752585°
E 39.808960°		 →
↑
216.87 m
↓
↑
216.87 m
↓
S 44.754536°
E 39.806214°		 ← 216.85 m →
47 028 m²		 S 44.754536°
E 39.808960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610576629638672 y=0.639308929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610576629638672 × 217)
    floor (0.610576629638672 × 131072)
    floor (80029.5)     		tx = 80029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639308929443359 × 217)
    floor (0.639308929443359 × 131072)
    floor (83795.5)     		ty = 83795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80029 / 83795 ti = "17/80029/83795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80029/83795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80029 ÷ 217
    80029 ÷ 131072     		x = 0.610572814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83795 ÷ 217
    83795 ÷ 131072     		y = 0.639305114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610572814941406 × 2 - 1) × π
    0.221145629882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69474949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639305114746094 × 2 - 1) × π
    -0.278610229492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.875279850162605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69474949} λ = 0.69474949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.875279850162605))-π/2
    2×atan(0.416745377096501)-π/2
    2×0.394858184700686-π/2
    0.789716369401373-1.57079632675     		φ = -0.78107996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69474949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.806214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78107996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.752585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80029 KachelY 83795 0.69474949 -0.78107996 39.806214 -44.752585
    Oben rechts KachelX + 1 80030 KachelY 83795 0.69479742 -0.78107996 39.808960 -44.752585
    Unten links KachelX 80029 KachelY + 1 83796 0.69474949 -0.78111400 39.806214 -44.754536
    Unten rechts KachelX + 1 80030 KachelY + 1 83796 0.69479742 -0.78111400 39.808960 -44.754536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78107996--0.78111400) × R
    3.40399999999574e-05 × 6371000     		dl = 216.868839999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78107996--0.78111400) × R
    3.40399999999574e-05 × 6371000     		dr = 216.868839999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69474949-0.69479742) × cos(-0.78107996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.710153609944332 × 6371000     		do = 216.853947944562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69474949-0.69479742) × cos(-0.78111400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.710129643780949 × 6371000     		du = 216.84662958826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78107996)-sin(-0.78111400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710153609944332-0.710129643780949)×R²
    abs(0.69479742-0.69474949)×2.39661633830712e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39661633830712e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39661633830712e-05×40589641000000     		ar = 47028.070582892m²