Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80029 / 18911
↖ ↑ ↗
← N 77.786772°
E 39.806214°		 ← 64.60 m → N 77.786772°
E 39.808960°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.786191°
E 39.806214°		 ← 64.60 m →
4 173 m²		 N 77.786191°
E 39.808960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610576629638672 y=0.144283294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610576629638672 × 217)
    floor (0.610576629638672 × 131072)
    floor (80029.5)     		tx = 80029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144283294677734 × 217)
    floor (0.144283294677734 × 131072)
    floor (18911.5)     		ty = 18911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80029 / 18911 ti = "17/80029/18911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80029/18911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80029 ÷ 217
    80029 ÷ 131072     		x = 0.610572814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18911 ÷ 217
    18911 ÷ 131072     		y = 0.144279479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610572814941406 × 2 - 1) × π
    0.221145629882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69474949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144279479980469 × 2 - 1) × π
    0.711441040039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.23505794478512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69474949} λ = 0.69474949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23505794478512))-π/2
    2×atan(9.34702344777034)-π/2
    2×1.46421580245988-π/2
    2.92843160491976-1.57079632675     		φ = 1.35763528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69474949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.806214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35763528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.786772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80029 KachelY 18911 0.69474949 1.35763528 39.806214 77.786772
    Oben rechts KachelX + 1 80030 KachelY 18911 0.69479742 1.35763528 39.808960 77.786772
    Unten links KachelX 80029 KachelY + 1 18912 0.69474949 1.35762514 39.806214 77.786191
    Unten rechts KachelX + 1 80030 KachelY + 1 18912 0.69479742 1.35762514 39.808960 77.786191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35763528-1.35762514) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35763528-1.35762514) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69474949-0.69479742) × cos(1.35763528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211550454698348 × 6371000     		do = 64.5994762941503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69474949-0.69479742) × cos(1.35762514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211560365189643 × 6371000     		du = 64.6025025818903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35763528)-sin(1.35762514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211550454698348-0.211560365189643)×R²
    abs(0.69479742-0.69474949)×9.91049129486776e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.91049129486776e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.91049129486776e-06×40589641000000     		ar = 4173.34924358331m²