Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80028 / 18788
↖ ↑ ↗
← N 77.858034°
E 39.803467°		 ← 64.24 m → N 77.858034°
E 39.806214°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.857456°
E 39.803467°		 ← 64.24 m →
4 126 m²		 N 77.857456°
E 39.806214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610569000244141 y=0.143344879150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610569000244141 × 217)
    floor (0.610569000244141 × 131072)
    floor (80028.5)     		tx = 80028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143344879150391 × 217)
    floor (0.143344879150391 × 131072)
    floor (18788.5)     		ty = 18788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80028 / 18788 ti = "17/80028/18788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80028/18788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80028 ÷ 217
    80028 ÷ 131072     		x = 0.610565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18788 ÷ 217
    18788 ÷ 131072     		y = 0.143341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610565185546875 × 2 - 1) × π
    0.22113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69470155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143341064453125 × 2 - 1) × π
    0.71331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24095418343839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69470155} λ = 0.69470155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24095418343839))-π/2
    2×atan(9.40229852610347)-π/2
    2×1.46483768467909-π/2
    2.92967536935818-1.57079632675     		φ = 1.35887904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69470155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.803467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35887904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.858034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80028 KachelY 18788 0.69470155 1.35887904 39.803467 77.858034
    Oben rechts KachelX + 1 80029 KachelY 18788 0.69474949 1.35887904 39.806214 77.858034
    Unten links KachelX 80028 KachelY + 1 18789 0.69470155 1.35886896 39.803467 77.857456
    Unten rechts KachelX + 1 80029 KachelY + 1 18789 0.69474949 1.35886896 39.806214 77.857456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35887904-1.35886896) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35887904-1.35886896) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69470155-0.69474949) × cos(1.35887904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210334681307057 × 6371000     		do = 64.24162568583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69470155-0.69474949) × cos(1.35886896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210344535801126 × 6371000     		du = 64.2446355019733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35887904)-sin(1.35886896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210334681307057-0.210344535801126)×R²
    abs(0.69474949-0.69470155)×9.85449406878947e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.85449406878947e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.85449406878947e-06×40589641000000     		ar = 4125.67328908069m²