Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80026 / 18891
↖ ↑ ↗
← N 77.798387°
E 39.797974°		 ← 64.54 m → N 77.798387°
E 39.800720°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.797806°
E 39.797974°		 ← 64.54 m →
4 165 m²		 N 77.797806°
E 39.800720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610553741455078 y=0.144130706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610553741455078 × 217)
    floor (0.610553741455078 × 131072)
    floor (80026.5)     		tx = 80026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144130706787109 × 217)
    floor (0.144130706787109 × 131072)
    floor (18891.5)     		ty = 18891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80026 / 18891 ti = "17/80026/18891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80026/18891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80026 ÷ 217
    80026 ÷ 131072     		x = 0.610549926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18891 ÷ 217
    18891 ÷ 131072     		y = 0.144126892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610549926757812 × 2 - 1) × π
    0.221099853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69460568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144126892089844 × 2 - 1) × π
    0.711746215820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.23601668277752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69460568} λ = 0.69460568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23601668277752))-π/2
    2×atan(9.35598909143043)-π/2
    2×1.46431716569112-π/2
    2.92863433138223-1.57079632675     		φ = 1.35783800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69460568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.797974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35783800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.798387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80026 KachelY 18891 0.69460568 1.35783800 39.797974 77.798387
    Oben rechts KachelX + 1 80027 KachelY 18891 0.69465361 1.35783800 39.800720 77.798387
    Unten links KachelX 80026 KachelY + 1 18892 0.69460568 1.35782787 39.797974 77.797806
    Unten rechts KachelX + 1 80027 KachelY + 1 18892 0.69465361 1.35782787 39.800720 77.797806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35783800-1.35782787) × R
    1.01300000001636e-05 × 6371000     		dl = 64.5382300010424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35783800-1.35782787) × R
    1.01300000001636e-05 × 6371000     		dr = 64.5382300010424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69460568-0.69465361) × cos(1.35783800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211352318498782 × 6371000     		do = 64.5389730220342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69460568-0.69465361) × cos(1.35782787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211362219650665 × 6371000     		du = 64.5419964578724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35783800)-sin(1.35782787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211352318498782-0.211362219650665)×R²
    abs(0.69465361-0.69460568)×9.90115188251317e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.90115188251317e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.90115188251317e-06×40589641000000     		ar = 4165.32864874292m²