Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80026 / 18890
↖ ↑ ↗
← N 77.798968°
E 39.797974°		 ← 64.54 m → N 77.798968°
E 39.800720°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.798387°
E 39.797974°		 ← 64.54 m →
4 169 m²		 N 77.798387°
E 39.800720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610553741455078 y=0.144123077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610553741455078 × 217)
    floor (0.610553741455078 × 131072)
    floor (80026.5)     		tx = 80026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144123077392578 × 217)
    floor (0.144123077392578 × 131072)
    floor (18890.5)     		ty = 18890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80026 / 18890 ti = "17/80026/18890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80026/18890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80026 ÷ 217
    80026 ÷ 131072     		x = 0.610549926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18890 ÷ 217
    18890 ÷ 131072     		y = 0.144119262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610549926757812 × 2 - 1) × π
    0.221099853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69460568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144119262695312 × 2 - 1) × π
    0.711761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23606461967714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69460568} λ = 0.69460568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23606461967714))-π/2
    2×atan(9.3564375992903)-π/2
    2×1.46432223135977-π/2
    2.92864446271954-1.57079632675     		φ = 1.35784814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69460568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.797974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35784814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.798968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80026 KachelY 18890 0.69460568 1.35784814 39.797974 77.798968
    Oben rechts KachelX + 1 80027 KachelY 18890 0.69465361 1.35784814 39.800720 77.798968
    Unten links KachelX 80026 KachelY + 1 18891 0.69460568 1.35783800 39.797974 77.798387
    Unten rechts KachelX + 1 80027 KachelY + 1 18891 0.69465361 1.35783800 39.800720 77.798387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35784814-1.35783800) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dl = 64.6019399992406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35784814-1.35783800) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dr = 64.6019399992406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69460568-0.69465361) × cos(1.35784814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211342407551091 × 6371000     		do = 64.535946594928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69460568-0.69465361) × cos(1.35783800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211352318498782 × 6371000     		du = 64.5389730220342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35784814)-sin(1.35783800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211342407551091-0.211352318498782)×R²
    abs(0.69465361-0.69460568)×9.91094769139944e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.91094769139944e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.91094769139944e-06×40589641000000     		ar = 4169.24510612733m²