Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80025 / 83910
↖ ↑ ↗
← S 44.976456°
E 39.795227°		 ← 216.06 m → S 44.976456°
E 39.797974°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 44.978399°
E 39.795227°		 ← 216.05 m →
46 676 m²		 S 44.978399°
E 39.797974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610546112060547 y=0.640186309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610546112060547 × 217)
    floor (0.610546112060547 × 131072)
    floor (80025.5)     		tx = 80025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640186309814453 × 217)
    floor (0.640186309814453 × 131072)
    floor (83910.5)     		ty = 83910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80025 / 83910 ti = "17/80025/83910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80025/83910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80025 ÷ 217
    80025 ÷ 131072     		x = 0.610542297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83910 ÷ 217
    83910 ÷ 131072     		y = 0.640182495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610542297363281 × 2 - 1) × π
    0.221084594726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.69455774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640182495117188 × 2 - 1) × π
    -0.280364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.880792593618912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69455774} λ = 0.69455774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880792593618912))-π/2
    2×atan(0.414454287642411)-π/2
    2×0.392904536079594-π/2
    0.785809072159187-1.57079632675     		φ = -0.78498725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69455774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.795227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78498725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.976456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80025 KachelY 83910 0.69455774 -0.78498725 39.795227 -44.976456
    Oben rechts KachelX + 1 80026 KachelY 83910 0.69460568 -0.78498725 39.797974 -44.976456
    Unten links KachelX 80025 KachelY + 1 83911 0.69455774 -0.78502116 39.795227 -44.978399
    Unten rechts KachelX + 1 80026 KachelY + 1 83911 0.69460568 -0.78502116 39.797974 -44.978399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78498725--0.78502116) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78498725--0.78502116) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69455774-0.69460568) × cos(-0.78498725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707397281130761 × 6371000     		do = 216.057338063209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69455774-0.69460568) × cos(-0.78502116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707373312588004 × 6371000     		du = 216.050017453301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78498725)-sin(-0.78502116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707397281130761-0.707373312588004)×R²
    abs(0.69460568-0.69455774)×2.39685427574354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39685427574354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39685427574354e-05×40589641000000     		ar = 46676.3683400307m²