Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80022 / 18914
↖ ↑ ↗
← N 77.785028°
E 39.786987°		 ← 64.61 m → N 77.785028°
E 39.789734°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.784447°
E 39.786987°		 ← 64.61 m →
4 174 m²		 N 77.784447°
E 39.789734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610523223876953 y=0.144306182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610523223876953 × 217)
    floor (0.610523223876953 × 131072)
    floor (80022.5)     		tx = 80022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144306182861328 × 217)
    floor (0.144306182861328 × 131072)
    floor (18914.5)     		ty = 18914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80022 / 18914 ti = "17/80022/18914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80022/18914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80022 ÷ 217
    80022 ÷ 131072     		x = 0.610519409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18914 ÷ 217
    18914 ÷ 131072     		y = 0.144302368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610519409179688 × 2 - 1) × π
    0.221038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69441393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144302368164062 × 2 - 1) × π
    0.711395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23491413408626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69441393} λ = 0.69441393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23491413408626))-π/2
    2×atan(9.34567934244673)-π/2
    2×1.46420058978129-π/2
    2.92840117956259-1.57079632675     		φ = 1.35760485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69441393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.786987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35760485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.785028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80022 KachelY 18914 0.69441393 1.35760485 39.786987 77.785028
    Oben rechts KachelX + 1 80023 KachelY 18914 0.69446186 1.35760485 39.789734 77.785028
    Unten links KachelX 80022 KachelY + 1 18915 0.69441393 1.35759471 39.786987 77.784447
    Unten rechts KachelX + 1 80023 KachelY + 1 18915 0.69446186 1.35759471 39.789734 77.784447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35760485-1.35759471) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dl = 64.6019399992406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35760485-1.35759471) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dr = 64.6019399992406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69441393-0.69446186) × cos(1.35760485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21158019588058 × 6371000     		do = 64.6085581219312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69441393-0.69446186) × cos(1.35759471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211590106306593 × 6371000     		du = 64.6115843897366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35760485)-sin(1.35759471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21158019588058-0.211590106306593)×R²
    abs(0.69446186-0.69441393)×9.91042601247716e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.91042601247716e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.91042601247716e-06×40589641000000     		ar = 4173.93594675618m²