Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80021 / 18915
↖ ↑ ↗
← N 77.784447°
E 39.784241°		 ← 64.63 m → N 77.784447°
E 39.786987°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.783866°
E 39.784241°		 ← 64.63 m →
4 175 m²		 N 77.783866°
E 39.786987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610515594482422 y=0.144313812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610515594482422 × 217)
    floor (0.610515594482422 × 131072)
    floor (80021.5)     		tx = 80021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144313812255859 × 217)
    floor (0.144313812255859 × 131072)
    floor (18915.5)     		ty = 18915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80021 / 18915 ti = "17/80021/18915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80021/18915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80021 ÷ 217
    80021 ÷ 131072     		x = 0.610511779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18915 ÷ 217
    18915 ÷ 131072     		y = 0.144309997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610511779785156 × 2 - 1) × π
    0.221023559570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.69436599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144309997558594 × 2 - 1) × π
    0.711380004882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.23486619718664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69436599} λ = 0.69436599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23486619718664))-π/2
    2×atan(9.34523135029197)-π/2
    2×1.46419551841325-π/2
    2.92839103682651-1.57079632675     		φ = 1.35759471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69436599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.784241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35759471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.784447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80021 KachelY 18915 0.69436599 1.35759471 39.784241 77.784447
    Oben rechts KachelX + 1 80022 KachelY 18915 0.69441393 1.35759471 39.786987 77.784447
    Unten links KachelX 80021 KachelY + 1 18916 0.69436599 1.35758457 39.784241 77.783866
    Unten rechts KachelX + 1 80022 KachelY + 1 18916 0.69441393 1.35758457 39.786987 77.783866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35759471-1.35758457) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35759471-1.35758457) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69436599-0.69441393) × cos(1.35759471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211590106306593 × 6371000     		do = 64.6250647953274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69436599-0.69441393) × cos(1.35758457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21160001671085 × 6371000     		du = 64.6280916878814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35759471)-sin(1.35758457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211590106306593-0.21160001671085)×R²
    abs(0.69441393-0.69436599)×9.91040425710188e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.91040425710188e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.91040425710188e-06×40589641000000     		ar = 4175.00232985531m²