Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80020 / 18796
↖ ↑ ↗
← N 77.853412°
E 39.781494°		 ← 64.27 m → N 77.853412°
E 39.784241°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.852834°
E 39.781494°		 ← 64.27 m →
4 131 m²		 N 77.852834°
E 39.784241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610507965087891 y=0.143405914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610507965087891 × 217)
    floor (0.610507965087891 × 131072)
    floor (80020.5)     		tx = 80020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143405914306641 × 217)
    floor (0.143405914306641 × 131072)
    floor (18796.5)     		ty = 18796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80020 / 18796 ti = "17/80020/18796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80020/18796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80020 ÷ 217
    80020 ÷ 131072     		x = 0.610504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18796 ÷ 217
    18796 ÷ 131072     		y = 0.143402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610504150390625 × 2 - 1) × π
    0.22100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69431805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143402099609375 × 2 - 1) × π
    0.71319580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24057068824142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69431805} λ = 0.69431805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24057068824142))-π/2
    2×atan(9.39869348108123)-π/2
    2×1.46479734594825-π/2
    2.92959469189649-1.57079632675     		φ = 1.35879837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69431805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.781494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35879837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.853412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80020 KachelY 18796 0.69431805 1.35879837 39.781494 77.853412
    Oben rechts KachelX + 1 80021 KachelY 18796 0.69436599 1.35879837 39.784241 77.853412
    Unten links KachelX 80020 KachelY + 1 18797 0.69431805 1.35878828 39.781494 77.852834
    Unten rechts KachelX + 1 80021 KachelY + 1 18797 0.69436599 1.35878828 39.784241 77.852834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35879837-1.35878828) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35879837-1.35878828) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69431805-0.69436599) × cos(1.35879837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2104135459895 × 6371000     		do = 64.2657129898248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69431805-0.69436599) × cos(1.35878828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210423410088601 × 6371000     		du = 64.2687257395924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35879837)-sin(1.35878828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2104135459895-0.210423410088601)×R²
    abs(0.69436599-0.69431805)×9.86409910172514e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.86409910172514e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.86409910172514e-06×40589641000000     		ar = 4131.31472684394m²