Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80017 / 83922
↖ ↑ ↗
← S 44.999767°
E 39.773254°		 ← 215.97 m → S 44.999767°
E 39.776001°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
S 45.001709°
E 39.773254°		 ← 215.96 m →
46 630 m²		 S 45.001709°
E 39.776001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610485076904297 y=0.640277862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610485076904297 × 217)
    floor (0.610485076904297 × 131072)
    floor (80017.5)     		tx = 80017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640277862548828 × 217)
    floor (0.640277862548828 × 131072)
    floor (83922.5)     		ty = 83922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80017 / 83922 ti = "17/80017/83922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80017/83922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80017 ÷ 217
    80017 ÷ 131072     		x = 0.610481262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83922 ÷ 217
    83922 ÷ 131072     		y = 0.640274047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610481262207031 × 2 - 1) × π
    0.220962524414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.69417424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640274047851562 × 2 - 1) × π
    -0.280548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881367836414352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69417424} λ = 0.69417424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881367836414352))-π/2
    2×atan(0.414215944358606)-π/2
    2×0.392701114848821-π/2
    0.785402229697642-1.57079632675     		φ = -0.78539410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69417424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.773254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78539410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.999767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80017 KachelY 83922 0.69417424 -0.78539410 39.773254 -44.999767
    Oben rechts KachelX + 1 80018 KachelY 83922 0.69422218 -0.78539410 39.776001 -44.999767
    Unten links KachelX 80017 KachelY + 1 83923 0.69417424 -0.78542799 39.773254 -45.001709
    Unten rechts KachelX + 1 80018 KachelY + 1 83923 0.69422218 -0.78542799 39.776001 -45.001709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78539410--0.78542799) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dl = 215.913189999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78539410--0.78542799) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dr = 215.913189999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69417424-0.69422218) × cos(-0.78539410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7071096544366 × 6371000     		do = 215.969489467301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69417424-0.69422218) × cos(-0.78542799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707085690279096 × 6371000     		du = 215.962170196762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78539410)-sin(-0.78542799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7071096544366-0.707085690279096)×R²
    abs(0.69422218-0.69417424)×2.39641575040528e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39641575040528e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39641575040528e-05×40589641000000     		ar = 46629.8712544253m²