Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80016 / 83920
↖ ↑ ↗
← S 44.995883°
E 39.770508°		 ← 215.94 m → S 44.995883°
E 39.773254°		 →
↑
215.98 m
↓
↑
215.98 m
↓
S 44.997825°
E 39.770508°		 ← 215.93 m →
46 637 m²		 S 44.997825°
E 39.773254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610477447509766 y=0.640262603759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610477447509766 × 217)
    floor (0.610477447509766 × 131072)
    floor (80016.5)     		tx = 80016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640262603759766 × 217)
    floor (0.640262603759766 × 131072)
    floor (83920.5)     		ty = 83920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80016 / 83920 ti = "17/80016/83920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80016/83920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80016 ÷ 217
    80016 ÷ 131072     		x = 0.6104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83920 ÷ 217
    83920 ÷ 131072     		y = 0.6402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6104736328125 × 2 - 1) × π
    0.220947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69412631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881271962615112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69412631} λ = 0.69412631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881271962615112))-π/2
    2×atan(0.41425565871865)-π/2
    2×0.392735012642418-π/2
    0.785470025284835-1.57079632675     		φ = -0.78532630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69412631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.770508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78532630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.995883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80016 KachelY 83920 0.69412631 -0.78532630 39.770508 -44.995883
    Oben rechts KachelX + 1 80017 KachelY 83920 0.69417424 -0.78532630 39.773254 -44.995883
    Unten links KachelX 80016 KachelY + 1 83921 0.69412631 -0.78536020 39.770508 -44.997825
    Unten rechts KachelX + 1 80017 KachelY + 1 83921 0.69417424 -0.78536020 39.773254 -44.997825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78532630--0.78536020) × R
    3.38999999999201e-05 × 6371000     		dl = 215.976899999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78532630--0.78536020) × R
    3.38999999999201e-05 × 6371000     		dr = 215.976899999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69412631-0.69417424) × cos(-0.78532630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707157594456286 × 6371000     		do = 215.93907857322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69412631-0.69417424) × cos(-0.78536020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707133624852766 × 6371000     		du = 215.931759166431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78532630)-sin(-0.78536020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707157594456286-0.707133624852766)×R²
    abs(0.69417424-0.69412631)×2.39696035202464e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39696035202464e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39696035202464e-05×40589641000000     		ar = 46637.0623721396m²