Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80015 / 83921
↖ ↑ ↗
← S 44.997825°
E 39.767761°		 ← 215.98 m → S 44.997825°
E 39.770508°		 →
↑
215.98 m
↓
↑
215.98 m
↓
S 44.999767°
E 39.767761°		 ← 215.97 m →
46 645 m²		 S 44.999767°
E 39.770508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610469818115234 y=0.640270233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610469818115234 × 217)
    floor (0.610469818115234 × 131072)
    floor (80015.5)     		tx = 80015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640270233154297 × 217)
    floor (0.640270233154297 × 131072)
    floor (83921.5)     		ty = 83921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80015 / 83921 ti = "17/80015/83921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80015/83921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80015 ÷ 217
    80015 ÷ 131072     		x = 0.610466003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83921 ÷ 217
    83921 ÷ 131072     		y = 0.640266418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610466003417969 × 2 - 1) × π
    0.220932006835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.69407837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640266418457031 × 2 - 1) × π
    -0.280532836914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.881319899514732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69407837} λ = 0.69407837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881319899514732))-π/2
    2×atan(0.414235801062682)-π/2
    2×0.392718063458376-π/2
    0.785436126916752-1.57079632675     		φ = -0.78536020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69407837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.767761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78536020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.997825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80015 KachelY 83921 0.69407837 -0.78536020 39.767761 -44.997825
    Oben rechts KachelX + 1 80016 KachelY 83921 0.69412631 -0.78536020 39.770508 -44.997825
    Unten links KachelX 80015 KachelY + 1 83922 0.69407837 -0.78539410 39.767761 -44.999767
    Unten rechts KachelX + 1 80016 KachelY + 1 83922 0.69412631 -0.78539410 39.770508 -44.999767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78536020--0.78539410) × R
    3.39000000000311e-05 × 6371000     		dl = 215.976900000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78536020--0.78539410) × R
    3.39000000000311e-05 × 6371000     		dr = 215.976900000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69407837-0.69412631) × cos(-0.78536020) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.707133624852766 × 6371000     		do = 215.976810649897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69407837-0.69412631) × cos(-0.78539410) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.7071096544366 × 6371000     		du = 215.969489467801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78536020)-sin(-0.78539410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707133624852766-0.7071096544366)×R²
    abs(0.69412631-0.69407837)×2.39704161653087e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39704161653087e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39704161653087e-05×40589641000000     		ar = 46645.2114373786m²