Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80014 / 83913
↖ ↑ ↗
← S 44.982285°
E 39.765014°		 ← 216.04 m → S 44.982285°
E 39.767761°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 44.984228°
E 39.765014°		 ← 216.03 m →
46 672 m²		 S 44.984228°
E 39.767761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610462188720703 y=0.640209197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610462188720703 × 217)
    floor (0.610462188720703 × 131072)
    floor (80014.5)     		tx = 80014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640209197998047 × 217)
    floor (0.640209197998047 × 131072)
    floor (83913.5)     		ty = 83913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80014 / 83913 ti = "17/80014/83913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80014/83913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80014 ÷ 217
    80014 ÷ 131072     		x = 0.610458374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83913 ÷ 217
    83913 ÷ 131072     		y = 0.640205383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610458374023438 × 2 - 1) × π
    0.220916748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69403043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640205383300781 × 2 - 1) × π
    -0.280410766601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.880936404317772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69403043} λ = 0.69403043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880936404317772))-π/2
    2×atan(0.414394688967226)-π/2
    2×0.392853673016333-π/2
    0.785707346032665-1.57079632675     		φ = -0.78508898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69403043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.765014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78508898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.982285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80014 KachelY 83913 0.69403043 -0.78508898 39.765014 -44.982285
    Oben rechts KachelX + 1 80015 KachelY 83913 0.69407837 -0.78508898 39.767761 -44.982285
    Unten links KachelX 80014 KachelY + 1 83914 0.69403043 -0.78512289 39.765014 -44.984228
    Unten rechts KachelX + 1 80015 KachelY + 1 83914 0.69407837 -0.78512289 39.767761 -44.984228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78508898--0.78512289) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78508898--0.78512289) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69403043-0.69407837) × cos(-0.78508898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707325373062316 × 6371000     		do = 216.035375488192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69403043-0.69407837) × cos(-0.78512289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70730140207944 × 6371000     		du = 216.028054133009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78508898)-sin(-0.78512289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707325373062316-0.70730140207944)×R²
    abs(0.69407837-0.69403043)×2.39709828752099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39709828752099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39709828752099e-05×40589641000000     		ar = 46671.6234513654m²