Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80012 / 83884
↖ ↑ ↗
← S 44.925918°
E 39.759522°		 ← 216.25 m → S 44.925918°
E 39.762268°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.927863°
E 39.759522°		 ← 216.24 m →
46 759 m²		 S 44.927863°
E 39.762268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610446929931641 y=0.639987945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610446929931641 × 217)
    floor (0.610446929931641 × 131072)
    floor (80012.5)     		tx = 80012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639987945556641 × 217)
    floor (0.639987945556641 × 131072)
    floor (83884.5)     		ty = 83884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80012 / 83884 ti = "17/80012/83884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80012/83884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80012 ÷ 217
    80012 ÷ 131072     		x = 0.610443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83884 ÷ 217
    83884 ÷ 131072     		y = 0.639984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610443115234375 × 2 - 1) × π
    0.22088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69393456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.27996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87954623422879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69393456} λ = 0.69393456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87954623422879))-π/2
    2×atan(0.414971168678446)-π/2
    2×0.39334556587575-π/2
    0.7866911317515-1.57079632675     		φ = -0.78410519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69393456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.759522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78410519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.925918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80012 KachelY 83884 0.69393456 -0.78410519 39.759522 -44.925918
    Oben rechts KachelX + 1 80013 KachelY 83884 0.69398250 -0.78410519 39.762268 -44.925918
    Unten links KachelX 80012 KachelY + 1 83885 0.69393456 -0.78413913 39.759522 -44.927863
    Unten rechts KachelX + 1 80013 KachelY + 1 83885 0.69398250 -0.78413913 39.762268 -44.927863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78410519--0.78413913) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78410519--0.78413913) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69393456-0.69398250) × cos(-0.78410519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708020460125556 × 6371000     		do = 216.247672968847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69393456-0.69398250) × cos(-0.78413913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707996491563999 × 6371000     		du = 216.240352353196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78410519)-sin(-0.78413913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708020460125556-0.707996491563999)×R²
    abs(0.69398250-0.69393456)×2.39685615569529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39685615569529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39685615569529e-05×40589641000000     		ar = 46758.8191267379m²