Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8001 / 7874
↖ ↑ ↗
← N 79.494649°
W136.049195°		 ← 111.37 m → N 79.494649°
W136.043701°		 →
↑
111.37 m
↓
↑
111.37 m
↓
N 79.493647°
W136.049195°		 ← 111.39 m →
12 404 m²		 N 79.493647°
W136.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122093200683594 y=0.120155334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122093200683594 × 216)
    floor (0.122093200683594 × 65536)
    floor (8001.5)     		tx = 8001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120155334472656 × 216)
    floor (0.120155334472656 × 65536)
    floor (7874.5)     		ty = 7874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8001 / 7874 ti = "16/8001/7874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8001/7874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8001 ÷ 216
    8001 ÷ 65536     		x = 0.122085571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7874 ÷ 216
    7874 ÷ 65536     		y = 0.120147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122085571289062 × 2 - 1) × π
    -0.755828857421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.37450639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120147705078125 × 2 - 1) × π
    0.75970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38668235828336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37450639} λ = -2.37450639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38668235828336))-π/2
    2×atan(10.8773468749279)-π/2
    2×1.47911984403958-π/2
    2.95823968807915-1.57079632675     		φ = 1.38744336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37450639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.049195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38744336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.494649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8001 KachelY 7874 -2.37450639 1.38744336 -136.049195 79.494649
    Oben rechts KachelX + 1 8002 KachelY 7874 -2.37441051 1.38744336 -136.043701 79.494649
    Unten links KachelX 8001 KachelY + 1 7875 -2.37450639 1.38742588 -136.049195 79.493647
    Unten rechts KachelX + 1 8002 KachelY + 1 7875 -2.37441051 1.38742588 -136.043701 79.493647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38744336-1.38742588) × R
    1.74800000001252e-05 × 6371000     		dl = 111.365080000797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38744336-1.38742588) × R
    1.74800000001252e-05 × 6371000     		dr = 111.365080000797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37450639--2.37441051) × cos(1.38744336) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182327356119188 × 6371000     		do = 111.37493532982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37450639--2.37441051) × cos(1.38742588) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182344543089533 × 6371000     		du = 111.385434016092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38744336)-sin(1.38742588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182327356119188-0.182344543089533)×R²
    abs(-2.37441051--2.37450639)×1.71869703447236e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71869703447236e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71869703447236e-05×40589641000000     		ar = 12403.8631770725m²