Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80009 / 83865
↖ ↑ ↗
← S 44.888958°
E 39.751282°		 ← 216.39 m → S 44.888958°
E 39.754029°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
S 44.890904°
E 39.751282°		 ← 216.38 m →
46 816 m²		 S 44.890904°
E 39.754029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610424041748047 y=0.639842987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610424041748047 × 217)
    floor (0.610424041748047 × 131072)
    floor (80009.5)     		tx = 80009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639842987060547 × 217)
    floor (0.639842987060547 × 131072)
    floor (83865.5)     		ty = 83865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80009 / 83865 ti = "17/80009/83865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80009/83865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80009 ÷ 217
    80009 ÷ 131072     		x = 0.610420227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83865 ÷ 217
    83865 ÷ 131072     		y = 0.639839172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610420227050781 × 2 - 1) × π
    0.220840454101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.69379075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639839172363281 × 2 - 1) × π
    -0.279678344726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.878635433136009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69379075} λ = 0.69379075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878635433136009))-π/2
    2×atan(0.415349297046076)-π/2
    2×0.393668102472877-π/2
    0.787336204945755-1.57079632675     		φ = -0.78346012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69379075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.751282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78346012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.888958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80009 KachelY 83865 0.69379075 -0.78346012 39.751282 -44.888958
    Oben rechts KachelX + 1 80010 KachelY 83865 0.69383869 -0.78346012 39.754029 -44.888958
    Unten links KachelX 80009 KachelY + 1 83866 0.69379075 -0.78349408 39.751282 -44.890904
    Unten rechts KachelX + 1 80010 KachelY + 1 83866 0.69383869 -0.78349408 39.754029 -44.890904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78346012--0.78349408) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dl = 216.359159999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78346012--0.78349408) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dr = 216.359159999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69379075-0.69383869) × cos(-0.78346012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708475856006805 × 6371000     		do = 216.38676259287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69379075-0.69383869) × cos(-0.78349408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70845188883596 × 6371000     		du = 216.379442401979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78346012)-sin(-0.78349408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708475856006805-0.70845188883596)×R²
    abs(0.69383869-0.69379075)×2.3967170845296e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3967170845296e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3967170845296e-05×40589641000000     		ar = 46816.4662991305m²