Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80003 / 18605
↖ ↑ ↗
← N 77.963301°
E 39.734802°		 ← 63.68 m → N 77.963301°
E 39.737549°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.962729°
E 39.734802°		 ← 63.68 m →
4 053 m²		 N 77.962729°
E 39.737549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610378265380859 y=0.141948699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610378265380859 × 217)
    floor (0.610378265380859 × 131072)
    floor (80003.5)     		tx = 80003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141948699951172 × 217)
    floor (0.141948699951172 × 131072)
    floor (18605.5)     		ty = 18605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80003 / 18605 ti = "17/80003/18605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80003/18605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80003 ÷ 217
    80003 ÷ 131072     		x = 0.610374450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18605 ÷ 217
    18605 ÷ 131072     		y = 0.141944885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610374450683594 × 2 - 1) × π
    0.220748901367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.69350313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141944885253906 × 2 - 1) × π
    0.716110229492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.24972663606886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69350313} λ = 0.69350313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24972663606886))-π/2
    2×atan(9.48514258605933)-π/2
    2×1.46575631484989-π/2
    2.93151262969977-1.57079632675     		φ = 1.36071630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69350313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.734802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36071630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.963301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80003 KachelY 18605 0.69350313 1.36071630 39.734802 77.963301
    Oben rechts KachelX + 1 80004 KachelY 18605 0.69355106 1.36071630 39.737549 77.963301
    Unten links KachelX 80003 KachelY + 1 18606 0.69350313 1.36070631 39.734802 77.962729
    Unten rechts KachelX + 1 80004 KachelY + 1 18606 0.69355106 1.36070631 39.737549 77.962729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36071630-1.36070631) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36071630-1.36070631) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69350313-0.69355106) × cos(1.36071630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208538167857913 × 6371000     		do = 63.6796382696119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69350313-0.69355106) × cos(1.36070631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208547938209656 × 6371000     		du = 63.6826217640541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36071630)-sin(1.36070631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208538167857913-0.208547938209656)×R²
    abs(0.69355106-0.69350313)×9.77035174351548e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.77035174351548e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.77035174351548e-06×40589641000000     		ar = 4053.06766871849m²