Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8000 / 7872
↖ ↑ ↗
← N 79.496652°
W136.054688°		 ← 111.34 m → N 79.496652°
W136.049195°		 →
↑
111.37 m
↓
↑
111.37 m
↓
N 79.495650°
W136.054688°		 ← 111.35 m →
12 400 m²		 N 79.495650°
W136.049195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122077941894531 y=0.120124816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122077941894531 × 216)
    floor (0.122077941894531 × 65536)
    floor (8000.5)     		tx = 8000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120124816894531 × 216)
    floor (0.120124816894531 × 65536)
    floor (7872.5)     		ty = 7872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8000 / 7872 ti = "16/8000/7872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8000/7872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8000 ÷ 216
    8000 ÷ 65536     		x = 0.1220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7872 ÷ 216
    7872 ÷ 65536     		y = 0.1201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1220703125 × 2 - 1) × π
    -0.755859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37460226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1201171875 × 2 - 1) × π
    0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37460226} λ = -2.37460226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38687410588184))-π/2
    2×atan(10.8794327800462)-π/2
    2×1.47913732280807-π/2
    2.95827464561614-1.57079632675     		φ = 1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37460226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8000 KachelY 7872 -2.37460226 1.38747832 -136.054688 79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 8001 KachelY 7872 -2.37450639 1.38747832 -136.049195 79.496652
    Unten links KachelX 8000 KachelY + 1 7873 -2.37460226 1.38746084 -136.054688 79.495650
    Unten rechts KachelX + 1 8001 KachelY + 1 7873 -2.37450639 1.38746084 -136.049195 79.495650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38747832-1.38746084) × R
    1.74800000001252e-05 × 6371000     		dl = 111.365080000797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38747832-1.38746084) × R
    1.74800000001252e-05 × 6371000     		dr = 111.365080000797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37460226--2.37450639) × cos(1.38747832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 111.342323969375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37460226--2.37450639) × cos(1.38746084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182310169093133 × 6371000     		du = 111.352821628715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38747832)-sin(1.38746084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.182310169093133)×R²
    abs(-2.37450639--2.37460226)×1.71870817598507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71870817598507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71870817598507e-05×40589641000000     		ar = 12400.2313529571m²