Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 800 / 861
↖ ↑ ↗
← N 80.437633°
W144.843750°		 ← 811.75 m → N 80.437633°
W144.799805°		 →
↑
812.05 m
↓
↑
812.05 m
↓
N 80.430330°
W144.843750°		 ← 812.36 m →
659 429 m²		 N 80.430330°
W144.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.09771728515625 y=0.10516357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.09771728515625 × 213)
    floor (0.09771728515625 × 8192)
    floor (800.5)     		tx = 800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10516357421875 × 213)
    floor (0.10516357421875 × 8192)
    floor (861.5)     		ty = 861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 800 / 861 ti = "13/800/861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/800/861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 800 ÷ 213
    800 ÷ 8192     		x = 0.09765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 861 ÷ 213
    861 ÷ 8192     		y = 0.1051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.09765625 × 2 - 1) × π
    -0.8046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.52800034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1051025390625 × 2 - 1) × π
    0.789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48121392433411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52800034} λ = -2.52800034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48121392433411))-π/2
    2×atan(11.9557690112642)-π/2
    2×1.48734893290971-π/2
    2.97469786581942-1.57079632675     		φ = 1.40390154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52800034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40390154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.437633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 800 KachelY 861 -2.52800034 1.40390154 -144.843750 80.437633
    Oben rechts KachelX + 1 801 KachelY 861 -2.52723335 1.40390154 -144.799805 80.437633
    Unten links KachelX 800 KachelY + 1 862 -2.52800034 1.40377408 -144.843750 80.430330
    Unten rechts KachelX + 1 801 KachelY + 1 862 -2.52723335 1.40377408 -144.799805 80.430330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40390154-1.40377408) × R
    0.000127459999999857 × 6371000     		dl = 812.04765999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40390154-1.40377408) × R
    0.000127459999999857 × 6371000     		dr = 812.04765999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52800034--2.52723335) × cos(1.40390154) × R
    0.000766990000000245 × 0.166121087495384 × 6371000     		do = 811.749579373956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52800034--2.52723335) × cos(1.40377408) × R
    0.000766990000000245 × 0.166246775135035 × 6371000     		du = 812.363751181745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40390154)-sin(1.40377408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166121087495384-0.166246775135035)×R²
    abs(-2.52723335--2.52800034)×0.000125687639650512×R²
    0.000766990000000245×0.000125687639650512×6371000²
    0.000766990000000245×0.000125687639650512×40589641000000     		ar = 659428.715718104m²