Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 8 / 0
     
← N 85.051129°
W 90.000000°		 ← 107.915 km → N 85.051129°
W 78.750000°		 →
↑
119.186 km
↓
↑
119.186 km
↓
N 83.979259°
W 90.000000°		 ← 131.209 km →
14 250.6 km²		 N 83.979259°
W 78.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 0 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265625 y=0.015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265625 × 25)
    floor (0.265625 × 32)
    floor (8.5)     		tx = 8
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.015625 × 25)
    floor (0.015625 × 32)
    floor (0.5)     		ty = 0
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 8 / 0 ti = "5/8/0"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/8/0.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8 ÷ 25
    8 ÷ 32     		x = 0.25
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 0 ÷ 25
    0 ÷ 32     		y = 0
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Λ = -1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0 × 2 - 1) × π
    1 × 3.1415926535     		Φ = 3.1415926535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.57079633} λ = -1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.1415926535))-π/2
    2×atan(23.1406926307014)-π/2
    2×1.52760927826624-π/2
    3.05521855653248-1.57079632675     		φ = 1.48442223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.48442223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 85.051129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8 KachelY 0 -1.57079633 1.48442223 -90.000000 85.051129
    Oben rechts KachelX + 1 9 KachelY 0 -1.37444679 1.48442223 -78.750000 85.051129
    Unten links KachelX 8 KachelY + 1 1 -1.57079633 1.46571458 -90.000000 83.979259
    Unten rechts KachelX + 1 9 KachelY + 1 1 -1.37444679 1.46571458 -78.750000 83.979259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.48442223-1.46571458) × R
    0.0187076500000001 × 6371000     		dl = 119186.43815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.48442223-1.46571458) × R
    0.0187076500000001 × 6371000     		dr = 119186.43815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.57079633--1.37444679) × cos(1.48442223) × R
    0.19634954 × 0.0862667380803361 × 6371000     		do = 107914.765176155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.57079633--1.37444679) × cos(1.46571458) × R
    0.19634954 × 0.104888465058156 × 6371000     		du = 131209.482684942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.48442223)-sin(1.46571458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0862667380803361-0.104888465058156)×R²
    abs(-1.37444679--1.57079633)×0.0186217269778201×R²
    0.19634954×0.0186217269778201×6371000²
    0.19634954×0.0186217269778201×40589641000000     		ar = 14250599305.534m²