Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79999 / 83918
↖ ↑ ↗
← S 44.991998°
E 39.723816°		 ← 216 m → S 44.991998°
E 39.726563°		 →
↑
215.98 m
↓
↑
215.98 m
↓
S 44.993940°
E 39.723816°		 ← 215.99 m →
46 650 m²		 S 44.993940°
E 39.726563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610347747802734 y=0.640247344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610347747802734 × 217)
    floor (0.610347747802734 × 131072)
    floor (79999.5)     		tx = 79999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640247344970703 × 217)
    floor (0.640247344970703 × 131072)
    floor (83918.5)     		ty = 83918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79999 / 83918 ti = "17/79999/83918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79999/83918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79999 ÷ 217
    79999 ÷ 131072     		x = 0.610343933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83918 ÷ 217
    83918 ÷ 131072     		y = 0.640243530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610343933105469 × 2 - 1) × π
    0.220687866210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.69331138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640243530273438 × 2 - 1) × π
    -0.280487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.881176088815872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69331138} λ = 0.69331138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881176088815872))-π/2
    2×atan(0.414295376886444)-π/2
    2×0.392768912733961-π/2
    0.785537825467921-1.57079632675     		φ = -0.78525850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69331138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.723816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78525850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.991998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79999 KachelY 83918 0.69331138 -0.78525850 39.723816 -44.991998
    Oben rechts KachelX + 1 80000 KachelY 83918 0.69335932 -0.78525850 39.726563 -44.991998
    Unten links KachelX 79999 KachelY + 1 83919 0.69331138 -0.78529240 39.723816 -44.993940
    Unten rechts KachelX + 1 80000 KachelY + 1 83919 0.69335932 -0.78529240 39.726563 -44.993940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78525850--0.78529240) × R
    3.39000000000311e-05 × 6371000     		dl = 215.976900000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78525850--0.78529240) × R
    3.39000000000311e-05 × 6371000     		dr = 215.976900000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69331138-0.69335932) × cos(-0.78525850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707205531225281 × 6371000     		do = 215.998772706433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69331138-0.69335932) × cos(-0.78529240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707181563247134 × 6371000     		du = 215.991452268971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78525850)-sin(-0.78529240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707205531225281-0.707181563247134)×R²
    abs(0.69335932-0.69331138)×2.39679781476321e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39679781476321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39679781476321e-05×40589641000000     		ar = 46649.9548147732m²