Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79997 / 18620
↖ ↑ ↗
← N 77.954707°
E 39.718323°		 ← 63.72 m → N 77.954707°
E 39.721069°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.954134°
E 39.718323°		 ← 63.73 m →
4 060 m²		 N 77.954134°
E 39.721069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610332489013672 y=0.142063140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610332489013672 × 217)
    floor (0.610332489013672 × 131072)
    floor (79997.5)     		tx = 79997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142063140869141 × 217)
    floor (0.142063140869141 × 131072)
    floor (18620.5)     		ty = 18620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79997 / 18620 ti = "17/79997/18620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79997/18620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79997 ÷ 217
    79997 ÷ 131072     		x = 0.610328674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18620 ÷ 217
    18620 ÷ 131072     		y = 0.142059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610328674316406 × 2 - 1) × π
    0.220657348632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69321551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142059326171875 × 2 - 1) × π
    0.71588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24900758257455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69321551} λ = 0.69321551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24900758257455))-π/2
    2×atan(9.4783247126405)-π/2
    2×1.46568131343296-π/2
    2.93136262686593-1.57079632675     		φ = 1.36056630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69321551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.718323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36056630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.954707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79997 KachelY 18620 0.69321551 1.36056630 39.718323 77.954707
    Oben rechts KachelX + 1 79998 KachelY 18620 0.69326344 1.36056630 39.721069 77.954707
    Unten links KachelX 79997 KachelY + 1 18621 0.69321551 1.36055630 39.718323 77.954134
    Unten rechts KachelX + 1 79998 KachelY + 1 18621 0.69326344 1.36055630 39.721069 77.954134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36056630-1.36055630) × R
    9.99999999984347e-06 × 6371000     		dl = 63.7099999990027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36056630-1.36055630) × R
    9.99999999984347e-06 × 6371000     		dr = 63.7099999990027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69321551-0.69326344) × cos(1.36056630) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.20868486764569 × 6371000     		do = 63.7244348144607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69321551-0.69326344) × cos(1.36055630) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.208694647464631 × 6371000     		du = 63.7274211998254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36056630)-sin(1.36055630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20868486764569-0.208694647464631)×R²
    abs(0.69326344-0.69321551)×9.77981894031976e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.77981894031976e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.77981894031976e-06×40589641000000     		ar = 4059.97887328558m²