Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79996 / 18628
↖ ↑ ↗
← N 77.950121°
E 39.715576°		 ← 63.76 m → N 77.950121°
E 39.718323°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.949547°
E 39.715576°		 ← 63.76 m →
4 066 m²		 N 77.949547°
E 39.718323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610324859619141 y=0.142124176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610324859619141 × 217)
    floor (0.610324859619141 × 131072)
    floor (79996.5)     		tx = 79996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142124176025391 × 217)
    floor (0.142124176025391 × 131072)
    floor (18628.5)     		ty = 18628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79996 / 18628 ti = "17/79996/18628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79996/18628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79996 ÷ 217
    79996 ÷ 131072     		x = 0.610321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18628 ÷ 217
    18628 ÷ 131072     		y = 0.142120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610321044921875 × 2 - 1) × π
    0.22064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69316757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142120361328125 × 2 - 1) × π
    0.71575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24862408737759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69316757} λ = 0.69316757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24862408737759))-π/2
    2×atan(9.47469051753069)-π/2
    2×1.46564129110606-π/2
    2.93128258221211-1.57079632675     		φ = 1.36048626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69316757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.715576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36048626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.950121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79996 KachelY 18628 0.69316757 1.36048626 39.715576 77.950121
    Oben rechts KachelX + 1 79997 KachelY 18628 0.69321551 1.36048626 39.718323 77.950121
    Unten links KachelX 79996 KachelY + 1 18629 0.69316757 1.36047625 39.715576 77.949547
    Unten rechts KachelX + 1 79997 KachelY + 1 18629 0.69321551 1.36047625 39.718323 77.949547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36048626-1.36047625) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36048626-1.36047625) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69316757-0.69321551) × cos(1.36048626) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208763144731464 × 6371000     		do = 63.7616379644402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69316757-0.69321551) × cos(1.36047625) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.208772934162979 × 6371000     		du = 63.764627908805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36048626)-sin(1.36047625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208763144731464-0.208772934162979)×R²
    abs(0.69321551-0.69316757)×9.789431515278e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.789431515278e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.789431515278e-06×40589641000000     		ar = 4066.41154869516m²