Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79995 / 18629
↖ ↑ ↗
← N 77.949547°
E 39.712829°		 ← 63.76 m → N 77.949547°
E 39.715576°		 →
↑
63.77 m
↓
↑
63.77 m
↓
N 77.948974°
E 39.712829°		 ← 63.77 m →
4 067 m²		 N 77.948974°
E 39.715576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610317230224609 y=0.142131805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610317230224609 × 217)
    floor (0.610317230224609 × 131072)
    floor (79995.5)     		tx = 79995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142131805419922 × 217)
    floor (0.142131805419922 × 131072)
    floor (18629.5)     		ty = 18629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79995 / 18629 ti = "17/79995/18629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79995/18629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79995 ÷ 217
    79995 ÷ 131072     		x = 0.610313415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18629 ÷ 217
    18629 ÷ 131072     		y = 0.142127990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610313415527344 × 2 - 1) × π
    0.220626831054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.69311963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142127990722656 × 2 - 1) × π
    0.715744018554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.24857615047797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69311963} λ = 0.69311963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24857615047797))-π/2
    2×atan(9.47423634112841)-π/2
    2×1.4656362872597-π/2
    2.9312725745194-1.57079632675     		φ = 1.36047625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69311963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.712829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36047625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.949547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79995 KachelY 18629 0.69311963 1.36047625 39.712829 77.949547
    Oben rechts KachelX + 1 79996 KachelY 18629 0.69316757 1.36047625 39.715576 77.949547
    Unten links KachelX 79995 KachelY + 1 18630 0.69311963 1.36046624 39.712829 77.948974
    Unten rechts KachelX + 1 79996 KachelY + 1 18630 0.69316757 1.36046624 39.715576 77.948974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36047625-1.36046624) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dl = 63.7737100000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36047625-1.36046624) × R
    1.00100000000047e-05 × 6371000     		dr = 63.7737100000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69311963-0.69316757) × cos(1.36047625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208772934162979 × 6371000     		do = 63.7646279086573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69311963-0.69316757) × cos(1.36046624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208782723573575 × 6371000     		du = 63.7676178466328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36047625)-sin(1.36046624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208772934162979-0.208782723573575)×R²
    abs(0.69316757-0.69311963)×9.78941059620597e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.78941059620597e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.78941059620597e-06×40589641000000     		ar = 4066.60222823761m²