Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79995 / 18613
↖ ↑ ↗
← N 77.958718°
E 39.712829°		 ← 63.72 m → N 77.958718°
E 39.715576°		 →
↑
63.71 m
↓
↑
63.71 m
↓
N 77.958145°
E 39.712829°		 ← 63.72 m →
4 059 m²		 N 77.958145°
E 39.715576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610317230224609 y=0.142009735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610317230224609 × 217)
    floor (0.610317230224609 × 131072)
    floor (79995.5)     		tx = 79995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142009735107422 × 217)
    floor (0.142009735107422 × 131072)
    floor (18613.5)     		ty = 18613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79995 / 18613 ti = "17/79995/18613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79995/18613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79995 ÷ 217
    79995 ÷ 131072     		x = 0.610313415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18613 ÷ 217
    18613 ÷ 131072     		y = 0.142005920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610313415527344 × 2 - 1) × π
    0.220626831054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.69311963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142005920410156 × 2 - 1) × π
    0.715988159179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.24934314087189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69311963} λ = 0.69311963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24934314087189))-π/2
    2×atan(9.4815057768291)-π/2
    2×1.46571632065788-π/2
    2.93143264131576-1.57079632675     		φ = 1.36063631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69311963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.712829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36063631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.958718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79995 KachelY 18613 0.69311963 1.36063631 39.712829 77.958718
    Oben rechts KachelX + 1 79996 KachelY 18613 0.69316757 1.36063631 39.715576 77.958718
    Unten links KachelX 79995 KachelY + 1 18614 0.69311963 1.36062631 39.712829 77.958145
    Unten rechts KachelX + 1 79996 KachelY + 1 18614 0.69316757 1.36062631 39.715576 77.958145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36063631-1.36062631) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dl = 63.7100000004174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36063631-1.36062631) × R
    1.00000000000655e-05 × 6371000     		dr = 63.7100000004174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69311963-0.69316757) × cos(1.36063631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208616398548869 × 6371000     		do = 63.7168179028814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69311963-0.69316757) × cos(1.36062631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208626178513889 × 6371000     		du = 63.7198049559348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36063631)-sin(1.36062631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208616398548869-0.208626178513889)×R²
    abs(0.69316757-0.69311963)×9.7799650202457e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7799650202457e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7799650202457e-06×40589641000000     		ar = 4059.49362120444m²