Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79993 / 83908
↖ ↑ ↗
← S 44.972571°
E 39.707337°		 ← 216.03 m → S 44.972571°
E 39.710083°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 44.974513°
E 39.707337°		 ← 216.02 m →
46 670 m²		 S 44.974513°
E 39.710083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610301971435547 y=0.640171051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610301971435547 × 217)
    floor (0.610301971435547 × 131072)
    floor (79993.5)     		tx = 79993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640171051025391 × 217)
    floor (0.640171051025391 × 131072)
    floor (83908.5)     		ty = 83908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79993 / 83908 ti = "17/79993/83908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79993/83908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79993 ÷ 217
    79993 ÷ 131072     		x = 0.610298156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83908 ÷ 217
    83908 ÷ 131072     		y = 0.640167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610298156738281 × 2 - 1) × π
    0.220596313476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.69302376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.28033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.880696719819672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69302376} λ = 0.69302376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880696719819672))-π/2
    2×atan(0.414494024854427)-π/2
    2×0.392938447660866-π/2
    0.785876895321733-1.57079632675     		φ = -0.78491943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69302376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.707337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78491943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.972571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79993 KachelY 83908 0.69302376 -0.78491943 39.707337 -44.972571
    Oben rechts KachelX + 1 79994 KachelY 83908 0.69307169 -0.78491943 39.710083 -44.972571
    Unten links KachelX 79993 KachelY + 1 83909 0.69302376 -0.78495334 39.707337 -44.974513
    Unten rechts KachelX + 1 79994 KachelY + 1 83909 0.69307169 -0.78495334 39.710083 -44.974513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78491943--0.78495334) × R
    3.39100000000814e-05 × 6371000     		dl = 216.040610000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78491943--0.78495334) × R
    3.39100000000814e-05 × 6371000     		dr = 216.040610000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69302376-0.69307169) × cos(-0.78491943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707445215775966 × 6371000     		do = 216.026907203269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69302376-0.69307169) × cos(-0.78495334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707421248860091 × 6371000     		du = 216.019588617185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78491943)-sin(-0.78495334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707445215775966-0.707421248860091)×R²
    abs(0.69307169-0.69302376)×2.39669158745848e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39669158745848e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39669158745848e-05×40589641000000     		ar = 46669.7942571102m²