Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79986 / 83902
↖ ↑ ↗
← S 44.960911°
E 39.688110°		 ← 216.12 m → S 44.960911°
E 39.690857°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
S 44.962854°
E 39.688110°		 ← 216.11 m →
46 703 m²		 S 44.962854°
E 39.690857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610248565673828 y=0.640125274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610248565673828 × 217)
    floor (0.610248565673828 × 131072)
    floor (79986.5)     		tx = 79986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640125274658203 × 217)
    floor (0.640125274658203 × 131072)
    floor (83902.5)     		ty = 83902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79986 / 83902 ti = "17/79986/83902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79986/83902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79986 ÷ 217
    79986 ÷ 131072     		x = 0.610244750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83902 ÷ 217
    83902 ÷ 131072     		y = 0.640121459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610244750976562 × 2 - 1) × π
    0.220489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69268820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640121459960938 × 2 - 1) × π
    -0.280242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.880409098421951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69268820} λ = 0.69268820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880409098421951))-π/2
    2×atan(0.414613259351576)-π/2
    2×0.393040196192355-π/2
    0.78608039238471-1.57079632675     		φ = -0.78471593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69268820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.688110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78471593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.960911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79986 KachelY 83902 0.69268820 -0.78471593 39.688110 -44.960911
    Oben rechts KachelX + 1 79987 KachelY 83902 0.69273614 -0.78471593 39.690857 -44.960911
    Unten links KachelX 79986 KachelY + 1 83903 0.69268820 -0.78474985 39.688110 -44.962854
    Unten rechts KachelX + 1 79987 KachelY + 1 83903 0.69273614 -0.78474985 39.690857 -44.962854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78471593--0.78474985) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78471593--0.78474985) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69268820-0.69273614) × cos(-0.78471593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707589028452077 × 6371000     		do = 216.115902630715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69268820-0.69273614) × cos(-0.78474985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707565059351991 × 6371000     		du = 216.108581850584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78471593)-sin(-0.78474985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707589028452077-0.707565059351991)×R²
    abs(0.69273614-0.69268820)×2.39691000863962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39691000863962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39691000863962e-05×40589641000000     		ar = 46702.7891575387m²