Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79984 / 83890
↖ ↑ ↗
← S 44.937585°
E 39.682617°		 ← 216.16 m → S 44.937585°
E 39.685364°		 →
↑
216.17 m
↓
↑
216.17 m
↓
S 44.939529°
E 39.682617°		 ← 216.15 m →
46 726 m²		 S 44.939529°
E 39.685364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610233306884766 y=0.640033721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610233306884766 × 217)
    floor (0.610233306884766 × 131072)
    floor (79984.5)     		tx = 79984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640033721923828 × 217)
    floor (0.640033721923828 × 131072)
    floor (83890.5)     		ty = 83890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79984 / 83890 ti = "17/79984/83890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79984/83890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79984 ÷ 217
    79984 ÷ 131072     		x = 0.6102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83890 ÷ 217
    83890 ÷ 131072     		y = 0.640029907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6102294921875 × 2 - 1) × π
    0.220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69259233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640029907226562 × 2 - 1) × π
    -0.280059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.879833855626511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69259233} λ = 0.69259233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.879833855626511))-π/2
    2×atan(0.414851831253718)-π/2
    2×0.393243755299812-π/2
    0.786487510599624-1.57079632675     		φ = -0.78430882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69259233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.682617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78430882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.937585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79984 KachelY 83890 0.69259233 -0.78430882 39.682617 -44.937585
    Oben rechts KachelX + 1 79985 KachelY 83890 0.69264026 -0.78430882 39.685364 -44.937585
    Unten links KachelX 79984 KachelY + 1 83891 0.69259233 -0.78434275 39.682617 -44.939529
    Unten rechts KachelX + 1 79985 KachelY + 1 83891 0.69264026 -0.78434275 39.685364 -44.939529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78430882--0.78434275) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dl = 216.168029999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78430882--0.78434275) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dr = 216.168029999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69259233-0.69264026) × cos(-0.78430882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707876643586759 × 6371000     		do = 216.158648875371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69259233-0.69264026) × cos(-0.78434275) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70785267719611 × 6371000     		du = 216.151330449671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78430882)-sin(-0.78434275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707876643586759-0.70785267719611)×R²
    abs(0.69264026-0.69259233)×2.3966390648722e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3966390648722e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3966390648722e-05×40589641000000     		ar = 46725.7982942748m²