Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79983 / 83891
↖ ↑ ↗
← S 44.939529°
E 39.679871°		 ← 216.20 m → S 44.939529°
E 39.682617°		 →
↑
216.17 m
↓
↑
216.17 m
↓
S 44.941473°
E 39.679871°		 ← 216.19 m →
46 734 m²		 S 44.941473°
E 39.682617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610225677490234 y=0.640041351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610225677490234 × 217)
    floor (0.610225677490234 × 131072)
    floor (79983.5)     		tx = 79983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640041351318359 × 217)
    floor (0.640041351318359 × 131072)
    floor (83891.5)     		ty = 83891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79983 / 83891 ti = "17/79983/83891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79983/83891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79983 ÷ 217
    79983 ÷ 131072     		x = 0.610221862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83891 ÷ 217
    83891 ÷ 131072     		y = 0.640037536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610221862792969 × 2 - 1) × π
    0.220443725585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.69254439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640037536621094 × 2 - 1) × π
    -0.280075073242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.879881792526131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69254439} λ = 0.69254439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.879881792526131))-π/2
    2×atan(0.414831945019772)-π/2
    2×0.393226788881187-π/2
    0.786453577762373-1.57079632675     		φ = -0.78434275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69254439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.679871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78434275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.939529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79983 KachelY 83891 0.69254439 -0.78434275 39.679871 -44.939529
    Oben rechts KachelX + 1 79984 KachelY 83891 0.69259233 -0.78434275 39.682617 -44.939529
    Unten links KachelX 79983 KachelY + 1 83892 0.69254439 -0.78437668 39.679871 -44.941473
    Unten rechts KachelX + 1 79984 KachelY + 1 83892 0.69259233 -0.78437668 39.682617 -44.941473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78434275--0.78437668) × R
    3.39300000000708e-05 × 6371000     		dl = 216.168030000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78434275--0.78437668) × R
    3.39300000000708e-05 × 6371000     		dr = 216.168030000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69254439-0.69259233) × cos(-0.78434275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70785267719611 × 6371000     		do = 216.196427743461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69254439-0.69259233) × cos(-0.78437668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707828709990549 × 6371000     		du = 216.189107541967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78434275)-sin(-0.78437668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70785267719611-0.707828709990549)×R²
    abs(0.69259233-0.69254439)×2.39672055606377e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39672055606377e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39672055606377e-05×40589641000000     		ar = 46733.9646861606m²