Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79981 / 83886
↖ ↑ ↗
← S 44.929807°
E 39.674378°		 ← 216.19 m → S 44.929807°
E 39.677124°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.931752°
E 39.674378°		 ← 216.18 m →
46 746 m²		 S 44.931752°
E 39.677124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610210418701172 y=0.640003204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610210418701172 × 217)
    floor (0.610210418701172 × 131072)
    floor (79981.5)     		tx = 79981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640003204345703 × 217)
    floor (0.640003204345703 × 131072)
    floor (83886.5)     		ty = 83886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79981 / 83886 ti = "17/79981/83886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79981/83886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79981 ÷ 217
    79981 ÷ 131072     		x = 0.610206604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83886 ÷ 217
    83886 ÷ 131072     		y = 0.639999389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610206604003906 × 2 - 1) × π
    0.220413208007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69244852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639999389648438 × 2 - 1) × π
    -0.279998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87964210802803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69244852} λ = 0.69244852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87964210802803))-π/2
    2×atan(0.414931385723031)-π/2
    2×0.393311626719164-π/2
    0.786623253438329-1.57079632675     		φ = -0.78417307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69244852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.674378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78417307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.929807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79981 KachelY 83886 0.69244852 -0.78417307 39.674378 -44.929807
    Oben rechts KachelX + 1 79982 KachelY 83886 0.69249645 -0.78417307 39.677124 -44.929807
    Unten links KachelX 79981 KachelY + 1 83887 0.69244852 -0.78420701 39.674378 -44.931752
    Unten rechts KachelX + 1 79982 KachelY + 1 83887 0.69249645 -0.78420701 39.677124 -44.931752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78417307--0.78420701) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78417307--0.78420701) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69244852-0.69249645) × cos(-0.78417307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707972522186884 × 6371000     		do = 216.187926559339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69244852-0.69249645) × cos(-0.78420701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707948551994239 × 6371000     		du = 216.180606972654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78417307)-sin(-0.78420701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707972522186884-0.707948551994239)×R²
    abs(0.69249645-0.69244852)×2.39701926452174e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39701926452174e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39701926452174e-05×40589641000000     		ar = 46745.900167973m²