Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79980 / 83900
↖ ↑ ↗
← S 44.957024°
E 39.671631°		 ← 216.13 m → S 44.957024°
E 39.674378°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
S 44.958967°
E 39.671631°		 ← 216.12 m →
46 706 m²		 S 44.958967°
E 39.674378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610202789306641 y=0.640110015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610202789306641 × 217)
    floor (0.610202789306641 × 131072)
    floor (79980.5)     		tx = 79980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640110015869141 × 217)
    floor (0.640110015869141 × 131072)
    floor (83900.5)     		ty = 83900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79980 / 83900 ti = "17/79980/83900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79980/83900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79980 ÷ 217
    79980 ÷ 131072     		x = 0.610198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83900 ÷ 217
    83900 ÷ 131072     		y = 0.640106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610198974609375 × 2 - 1) × π
    0.22039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69240058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.28021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.880313224622711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69240058} λ = 0.69240058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880313224622711))-π/2
    2×atan(0.414653011805545)-π/2
    2×0.393074116965407-π/2
    0.786148233930814-1.57079632675     		φ = -0.78464809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69240058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.671631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78464809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.957024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79980 KachelY 83900 0.69240058 -0.78464809 39.671631 -44.957024
    Oben rechts KachelX + 1 79981 KachelY 83900 0.69244852 -0.78464809 39.674378 -44.957024
    Unten links KachelX 79980 KachelY + 1 83901 0.69240058 -0.78468201 39.671631 -44.958967
    Unten rechts KachelX + 1 79981 KachelY + 1 83901 0.69244852 -0.78468201 39.674378 -44.958967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78464809--0.78468201) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78464809--0.78468201) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69240058-0.69244852) × cos(-0.78464809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707636964209838 × 6371000     		do = 216.130543445002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69240058-0.69244852) × cos(-0.78468201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707612996738036 × 6371000     		du = 216.12322316219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78464809)-sin(-0.78468201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707636964209838-0.707612996738036)×R²
    abs(0.69244852-0.69240058)×2.39674718025551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39674718025551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39674718025551e-05×40589641000000     		ar = 46705.9531545513m²