Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79976 / 83880
↖ ↑ ↗
← S 44.918139°
E 39.660645°		 ← 216.28 m → S 44.918139°
E 39.663391°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
S 44.920084°
E 39.660645°		 ← 216.27 m →
46 779 m²		 S 44.920084°
E 39.663391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610172271728516 y=0.639957427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610172271728516 × 217)
    floor (0.610172271728516 × 131072)
    floor (79976.5)     		tx = 79976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639957427978516 × 217)
    floor (0.639957427978516 × 131072)
    floor (83880.5)     		ty = 83880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79976 / 83880 ti = "17/79976/83880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79976/83880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79976 ÷ 217
    79976 ÷ 131072     		x = 0.61016845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83880 ÷ 217
    83880 ÷ 131072     		y = 0.63995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61016845703125 × 2 - 1) × π
    0.2203369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69220883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.2799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87935448663031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69220883} λ = 0.69220883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87935448663031))-π/2
    2×atan(0.415050746032618)-π/2
    2×0.393413451082737-π/2
    0.786826902165474-1.57079632675     		φ = -0.78396942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69220883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.660645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78396942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.918139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79976 KachelY 83880 0.69220883 -0.78396942 39.660645 -44.918139
    Oben rechts KachelX + 1 79977 KachelY 83880 0.69225677 -0.78396942 39.663391 -44.918139
    Unten links KachelX 79976 KachelY + 1 83881 0.69220883 -0.78400337 39.660645 -44.920084
    Unten rechts KachelX + 1 79977 KachelY + 1 83881 0.69225677 -0.78400337 39.663391 -44.920084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78396942--0.78400337) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78396942--0.78400337) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69220883-0.69225677) × cos(-0.78396942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708116333276611 × 6371000     		do = 216.276955096954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69220883-0.69225677) × cos(-0.78400337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708092360916604 × 6371000     		du = 216.269633321159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78396942)-sin(-0.78400337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708116333276611-0.708092360916604)×R²
    abs(0.69225677-0.69220883)×2.3972360007285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3972360007285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3972360007285e-05×40589641000000     		ar = 46778.9294982855m²