Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7997 / 7871
↖ ↑ ↗
← N 79.497653°
W136.071167°		 ← 111.33 m → N 79.497653°
W136.065674°		 →
↑
111.37 m
↓
↑
111.37 m
↓
N 79.496652°
W136.071167°		 ← 111.34 m →
12 399 m²		 N 79.496652°
W136.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122032165527344 y=0.120109558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122032165527344 × 216)
    floor (0.122032165527344 × 65536)
    floor (7997.5)     		tx = 7997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120109558105469 × 216)
    floor (0.120109558105469 × 65536)
    floor (7871.5)     		ty = 7871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7997 / 7871 ti = "16/7997/7871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7997/7871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7997 ÷ 216
    7997 ÷ 65536     		x = 0.122024536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7871 ÷ 216
    7871 ÷ 65536     		y = 0.120101928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.122024536132812 × 2 - 1) × π
    -0.755950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37488988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120101928710938 × 2 - 1) × π
    0.759796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38696997968108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37488988} λ = -2.37488988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38696997968108))-π/2
    2×atan(10.8804758826027)-π/2
    2×1.47914606095664-π/2
    2.95829212191327-1.57079632675     		φ = 1.38749580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37488988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.071167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38749580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.497653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7997 KachelY 7871 -2.37488988 1.38749580 -136.071167 79.497653
    Oben rechts KachelX + 1 7998 KachelY 7871 -2.37479401 1.38749580 -136.065674 79.497653
    Unten links KachelX 7997 KachelY + 1 7872 -2.37488988 1.38747832 -136.071167 79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 7998 KachelY + 1 7872 -2.37479401 1.38747832 -136.065674 79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38749580-1.38747832) × R
    1.74799999999031e-05 × 6371000     		dl = 111.365079999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38749580-1.38747832) × R
    1.74799999999031e-05 × 6371000     		dr = 111.365079999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37488988--2.37479401) × cos(1.38749580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182275794873914 × 6371000     		do = 111.331826276013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37488988--2.37479401) × cos(1.38747832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 111.342323969375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38749580)-sin(1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182275794873914-0.182292982011374)×R²
    abs(-2.37479401--2.37488988)×1.71871374593235e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71871374593235e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71871374593235e-05×40589641000000     		ar = 12399.0622783735m²