Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79967 / 18532
↖ ↑ ↗
← N 78.005042°
E 39.635925°		 ← 63.48 m → N 78.005042°
E 39.638672°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.004471°
E 39.635925°		 ← 63.48 m →
4 028 m²		 N 78.004471°
E 39.638672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610103607177734 y=0.141391754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610103607177734 × 217)
    floor (0.610103607177734 × 131072)
    floor (79967.5)     		tx = 79967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141391754150391 × 217)
    floor (0.141391754150391 × 131072)
    floor (18532.5)     		ty = 18532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79967 / 18532 ti = "17/79967/18532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79967/18532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79967 ÷ 217
    79967 ÷ 131072     		x = 0.610099792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18532 ÷ 217
    18532 ÷ 131072     		y = 0.141387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610099792480469 × 2 - 1) × π
    0.220199584960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.69177740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141387939453125 × 2 - 1) × π
    0.71722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25322602974112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69177740} λ = 0.69177740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25322602974112))-π/2
    2×atan(9.51839297818007)-π/2
    2×1.46612056970632-π/2
    2.93224113941264-1.57079632675     		φ = 1.36144481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69177740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.635925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36144481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.005042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79967 KachelY 18532 0.69177740 1.36144481 39.635925 78.005042
    Oben rechts KachelX + 1 79968 KachelY 18532 0.69182534 1.36144481 39.638672 78.005042
    Unten links KachelX 79967 KachelY + 1 18533 0.69177740 1.36143485 39.635925 78.004471
    Unten rechts KachelX + 1 79968 KachelY + 1 18533 0.69182534 1.36143485 39.638672 78.004471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36144481-1.36143485) × R
    9.96000000008657e-06 × 6371000     		dl = 63.4551600005515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36144481-1.36143485) × R
    9.96000000008657e-06 × 6371000     		dr = 63.4551600005515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69177740-0.69182534) × cos(1.36144481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207825619436414 × 6371000     		do = 63.4752936072834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69177740-0.69182534) × cos(1.36143485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207835361958388 × 6371000     		du = 63.4782692242668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36144481)-sin(1.36143485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207825619436414-0.207835361958388)×R²
    abs(0.69182534-0.69177740)×9.7425219740821e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7425219740821e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7425219740821e-06×40589641000000     		ar = 4027.92932111292m²