Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79966 / 18582
↖ ↑ ↗
← N 77.976468°
E 39.633179°		 ← 63.62 m → N 77.976468°
E 39.635925°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.975896°
E 39.633179°		 ← 63.63 m →
4 045 m²		 N 77.975896°
E 39.635925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610095977783203 y=0.141773223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610095977783203 × 217)
    floor (0.610095977783203 × 131072)
    floor (79966.5)     		tx = 79966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141773223876953 × 217)
    floor (0.141773223876953 × 131072)
    floor (18582.5)     		ty = 18582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79966 / 18582 ti = "17/79966/18582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79966/18582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79966 ÷ 217
    79966 ÷ 131072     		x = 0.610092163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18582 ÷ 217
    18582 ÷ 131072     		y = 0.141769409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610092163085938 × 2 - 1) × π
    0.220184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69172946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141769409179688 × 2 - 1) × π
    0.716461181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25082918476012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69172946} λ = 0.69172946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25082918476012))-π/2
    2×atan(9.49560618485762)-π/2
    2×1.46587121462951-π/2
    2.93174242925901-1.57079632675     		φ = 1.36094610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69172946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.633179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36094610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.976468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79966 KachelY 18582 0.69172946 1.36094610 39.633179 77.976468
    Oben rechts KachelX + 1 79967 KachelY 18582 0.69177740 1.36094610 39.635925 77.976468
    Unten links KachelX 79966 KachelY + 1 18583 0.69172946 1.36093612 39.633179 77.975896
    Unten rechts KachelX + 1 79967 KachelY + 1 18583 0.69177740 1.36093612 39.635925 77.975896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36094610-1.36093612) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36094610-1.36093612) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69172946-0.69177740) × cos(1.36094610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208313414683771 × 6371000     		do = 63.6242788316759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69172946-0.69177740) × cos(1.36093612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208323175733409 × 6371000     		du = 63.6272601074848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36094610)-sin(1.36093612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208313414683771-0.208323175733409)×R²
    abs(0.69177740-0.69172946)×9.76104963787416e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.76104963787416e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.76104963787416e-06×40589641000000     		ar = 4045.49057743671m²