Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7996 / 7870
↖ ↑ ↗
← N 79.498654°
W136.076660°		 ← 111.32 m → N 79.498654°
W136.071167°		 →
↑
111.30 m
↓
↑
111.30 m
↓
N 79.497653°
W136.076660°		 ← 111.33 m →
12 391 m²		 N 79.497653°
W136.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.122016906738281 y=0.120094299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.122016906738281 × 216)
    floor (0.122016906738281 × 65536)
    floor (7996.5)     		tx = 7996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120094299316406 × 216)
    floor (0.120094299316406 × 65536)
    floor (7870.5)     		ty = 7870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7996 / 7870 ti = "16/7996/7870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7996/7870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7996 ÷ 216
    7996 ÷ 65536     		x = 0.12200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7870 ÷ 216
    7870 ÷ 65536     		y = 0.120086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.7559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.37498575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120086669921875 × 2 - 1) × π
    0.75982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38706585348032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37498575} λ = -2.37498575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38706585348032))-π/2
    2×atan(10.8815190851702)-π/2
    2×1.47915479828152-π/2
    2.95830959656304-1.57079632675     		φ = 1.38751327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37498575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38751327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.498654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7996 KachelY 7870 -2.37498575 1.38751327 -136.076660 79.498654
    Oben rechts KachelX + 1 7997 KachelY 7870 -2.37488988 1.38751327 -136.071167 79.498654
    Unten links KachelX 7996 KachelY + 1 7871 -2.37498575 1.38749580 -136.076660 79.497653
    Unten rechts KachelX + 1 7997 KachelY + 1 7871 -2.37488988 1.38749580 -136.071167 79.497653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38751327-1.38749580) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dl = 111.30136999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38751327-1.38749580) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dr = 111.30136999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37498575--2.37488988) × cos(1.38751327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182258617513267 × 6371000     		do = 111.321334554209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37498575--2.37488988) × cos(1.38749580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182275794873914 × 6371000     		du = 111.331826276013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38751327)-sin(1.38749580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182258617513267-0.182275794873914)×R²
    abs(-2.37488988--2.37498575)×1.71773606475745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71773606475745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71773606475745e-05×40589641000000     		ar = 12390.8009176074m²