Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79954 / 82866
↖ ↑ ↗
← S 42.912183°
E 39.600220°		 ← 223.69 m → S 42.912183°
E 39.602967°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 42.914195°
E 39.600220°		 ← 223.69 m →
50 036 m²		 S 42.914195°
E 39.602967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610004425048828 y=0.632221221923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610004425048828 × 217)
    floor (0.610004425048828 × 131072)
    floor (79954.5)     		tx = 79954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632221221923828 × 217)
    floor (0.632221221923828 × 131072)
    floor (82866.5)     		ty = 82866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79954 / 82866 ti = "17/79954/82866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79954/82866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79954 ÷ 217
    79954 ÷ 131072     		x = 0.610000610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82866 ÷ 217
    82866 ÷ 131072     		y = 0.632217407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610000610351562 × 2 - 1) × π
    0.220001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69115422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632217407226562 × 2 - 1) × π
    -0.264434814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.830746470415573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69115422} λ = 0.69115422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830746470415573))-π/2
    2×atan(0.435723909886615)-π/2
    2×0.410918718750172-π/2
    0.821837437500343-1.57079632675     		φ = -0.74895889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69115422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.600220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74895889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.912183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79954 KachelY 82866 0.69115422 -0.74895889 39.600220 -42.912183
    Oben rechts KachelX + 1 79955 KachelY 82866 0.69120216 -0.74895889 39.602967 -42.912183
    Unten links KachelX 79954 KachelY + 1 82867 0.69115422 -0.74899400 39.600220 -42.914195
    Unten rechts KachelX + 1 79955 KachelY + 1 82867 0.69120216 -0.74899400 39.602967 -42.914195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74895889--0.74899400) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74895889--0.74899400) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69115422-0.69120216) × cos(-0.74895889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73239813313265 × 6371000     		do = 223.693241786512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69115422-0.69120216) × cos(-0.74899400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.732374227103034 × 6371000     		du = 223.685940269725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74895889)-sin(-0.74899400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73239813313265-0.732374227103034)×R²
    abs(0.69120216-0.69115422)×2.39060296166604e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39060296166604e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39060296166604e-05×40589641000000     		ar = 50036.1873628712m²