Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79952 / 83949
↖ ↑ ↗
← S 45.052181°
E 39.594726°		 ← 215.77 m → S 45.052181°
E 39.597473°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
S 45.054121°
E 39.594726°		 ← 215.76 m →
46 546 m²		 S 45.054121°
E 39.597473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609989166259766 y=0.640483856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609989166259766 × 217)
    floor (0.609989166259766 × 131072)
    floor (79952.5)     		tx = 79952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640483856201172 × 217)
    floor (0.640483856201172 × 131072)
    floor (83949.5)     		ty = 83949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79952 / 83949 ti = "17/79952/83949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79952/83949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79952 ÷ 217
    79952 ÷ 131072     		x = 0.6099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83949 ÷ 217
    83949 ÷ 131072     		y = 0.640480041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6099853515625 × 2 - 1) × π
    0.219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69105834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640480041503906 × 2 - 1) × π
    -0.280960083007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.882662132704094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69105834} λ = 0.69105834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882662132704094))-π/2
    2×atan(0.413680172996907)-π/2
    2×0.392243719546707-π/2
    0.784487439093414-1.57079632675     		φ = -0.78630889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69105834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.594726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78630889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.052181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79952 KachelY 83949 0.69105834 -0.78630889 39.594726 -45.052181
    Oben rechts KachelX + 1 79953 KachelY 83949 0.69110628 -0.78630889 39.597473 -45.052181
    Unten links KachelX 79952 KachelY + 1 83950 0.69105834 -0.78634275 39.594726 -45.054121
    Unten rechts KachelX + 1 79953 KachelY + 1 83950 0.69110628 -0.78634275 39.597473 -45.054121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78630889--0.78634275) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dl = 215.722059999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78630889--0.78634275) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dr = 215.722059999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69105834-0.69110628) × cos(-0.78630889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706462507073824 × 6371000     		do = 215.771834005137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69105834-0.69110628) × cos(-0.78634275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706438542237976 × 6371000     		du = 215.764514527413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78630889)-sin(-0.78634275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706462507073824-0.706438542237976)×R²
    abs(0.69110628-0.69105834)×2.39648358487665e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39648358487665e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39648358487665e-05×40589641000000     		ar = 46545.9550394716m²