Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 79948 / 83149
↖ ↑ ↗
← S 43.478834°
E 39.583740°		 ← 221.58 m → S 43.478834°
E 39.586487°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 43.480826°
E 39.583740°		 ← 221.57 m →
49 098 m²		 S 43.480826°
E 39.586487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609958648681641 y=0.634380340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609958648681641 × 217)
    floor (0.609958648681641 × 131072)
    floor (79948.5)     		tx = 79948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634380340576172 × 217)
    floor (0.634380340576172 × 131072)
    floor (83149.5)     		ty = 83149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79948 / 83149 ti = "17/79948/83149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79948/83149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79948 ÷ 217
    79948 ÷ 131072     		x = 0.609954833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83149 ÷ 217
    83149 ÷ 131072     		y = 0.634376525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609954833984375 × 2 - 1) × π
    0.21990966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69086660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634376525878906 × 2 - 1) × π
    -0.268753051757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.844312613008049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69086660} λ = 0.69086660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844312613008049))-π/2
    2×atan(0.429852731857441)-π/2
    2×0.405973764273596-π/2
    0.811947528547193-1.57079632675     		φ = -0.75884880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69086660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.583740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75884880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.478834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79948 KachelY 83149 0.69086660 -0.75884880 39.583740 -43.478834
    Oben rechts KachelX + 1 79949 KachelY 83149 0.69091453 -0.75884880 39.586487 -43.478834
    Unten links KachelX 79948 KachelY + 1 83150 0.69086660 -0.75888358 39.583740 -43.480826
    Unten rechts KachelX + 1 79949 KachelY + 1 83150 0.69091453 -0.75888358 39.586487 -43.480826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75884880--0.75888358) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75884880--0.75888358) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69086660-0.69091453) × cos(-0.75884880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725628616634787 × 6371000     		do = 221.579427401826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69086660-0.69091453) × cos(-0.75888358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725604684545442 × 6371000     		du = 221.572119450441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75884880)-sin(-0.75888358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725628616634787-0.725604684545442)×R²
    abs(0.69091453-0.69086660)×2.39320893455908e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39320893455908e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39320893455908e-05×40589641000000     		ar = 49097.5088068814m²