Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 79946 / 83147
↖ ↑ ↗
← S 43.474847°
E 39.578247°		 ← 221.64 m → S 43.474847°
E 39.580994°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 43.476840°
E 39.578247°		 ← 221.63 m →
49 111 m²		 S 43.476840°
E 39.580994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 79946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609943389892578 y=0.634365081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609943389892578 × 217)
    floor (0.609943389892578 × 131072)
    floor (79946.5)     		tx = 79946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634365081787109 × 217)
    floor (0.634365081787109 × 131072)
    floor (83147.5)     		ty = 83147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 79946 / 83147 ti = "17/79946/83147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/79946/83147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 79946 ÷ 217
    79946 ÷ 131072     		x = 0.609939575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83147 ÷ 217
    83147 ÷ 131072     		y = 0.634361267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609939575195312 × 2 - 1) × π
    0.219879150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69077072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634361267089844 × 2 - 1) × π
    -0.268722534179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.844216739208809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69077072} λ = 0.69077072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844216739208809))-π/2
    2×atan(0.429893945447578)-π/2
    2×0.406008549807162-π/2
    0.812017099614324-1.57079632675     		φ = -0.75877923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69077072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.578247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75877923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.474847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 79946 KachelY 83147 0.69077072 -0.75877923 39.578247 -43.474847
    Oben rechts KachelX + 1 79947 KachelY 83147 0.69081866 -0.75877923 39.580994 -43.474847
    Unten links KachelX 79946 KachelY + 1 83148 0.69077072 -0.75881401 39.578247 -43.476840
    Unten rechts KachelX + 1 79947 KachelY + 1 83148 0.69081866 -0.75881401 39.580994 -43.476840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75877923--0.75881401) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75877923--0.75881401) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69077072-0.69081866) × cos(-0.75877923) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.725676485060544 × 6371000     		do = 221.640277450583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69077072-0.69081866) × cos(-0.75881401) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.725652554726991 × 6371000     		du = 221.63296851075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75877923)-sin(-0.75881401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725676485060544-0.725652554726991)×R²
    abs(0.69081866-0.69077072)×2.39303335531904e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39303335531904e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39303335531904e-05×40589641000000     		ar = 49110.9920567549m²